Los diagramas de Venn y los números primos ----------------------------------------------
La búsqueda de diagramas de Venn simétricos (invariantes por rotación) formados por elipses ha dado lugar a hermosos estudios. Los matemáticos ya tropezaban con el caso de cuatro elipses cuando David Henderson demostró en 1963 que tales diagramas no existían para valores no primos de n. Esto se debe a que, mediante una rotación, una región correspondiente a la intersección de k conjuntos es la imagen de n otras regiones de este tipo. Además, hay (nk){n\choose k} regiones que representan la intersección de k conjuntos, por lo que n debe dividir siempre a (nk){n\choose k}.
Por ejemplo, en el caso n = 4, debe haber seis regiones que representen la intersección de dos conjuntos, pero 4 no divide a 6...
No fue hasta 1975 cuando el matemático yugoslavo Branko Grünbaum presentó un ejemplo de diagrama de Venn simétrico con cinco elipses. En 2002, Peter Hamburger presentó un ejemplo de diagrama de Venn simétrico con once elipses; un año después, Jerrold Griggs, Charles Killian y Carla Savage demostraron por fin que el dibujo puede realizarse efectivamente para todo número natural n primo.
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¡Axiomas, pero también reglas de lógica! -----------------------------------------------
La teoría de conjuntos es una teoría axiomática, es decir, se parte de afirmaciones que se tendrán por verdaderas y de las que se deducirán teoremas. A los axiomas específicos de la teoría de conjuntos se añaden los axiomas y las reglas de deducción de la lógica clásica. Entre estas reglas, la siguiente afirmación parece evidente, pero debe enunciarse con claridad: lo que es verdadero para un elemento cualquiera de un conjunto lo es para todos los elementos del conjunto.
El modus ponens y el modus tollens son otras dos reglas primitivas del razonamiento. El modus ponens, o regla de separación, afirma que de p (por una parte) y de p implica q (por otra) puede deducirse q. Tomemos el ejemplo en que p es «llueve» y p implica q es «si llueve, saco mi paraguas». Al aplicar el modus ponens en un día lluvioso, podemos deducir que saco mi paraguas. El modus tollens, por su parte, es una regla de inferencia que estipula que, si una proposición es válida, su contraposición también lo es. Por ejemplo, si la proposición es «si llueve, saco mi paraguas», si no tengo mi paraguas, el modus tollens permite deducir que no llueve.
Así, combinando los axiomas entre sí mediante las reglas de deducción se construyen los teoremas. ¡Estos no son sino consecuencias sintácticas de los axiomas de partida!
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Cantor: dos demostraciones para un teorema ----------------------------------------------
Georg Cantor se interesó por los conjuntos infinitos desde comienzos de la década de 1870. Una de sus preguntas era si existían infinitos de cardinalidades distintas. En particular, ¿puede encontrarse una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los números reales, de la que acababa de dar una construcción? Cantor respondió negativamente a esta cuestión ya en 1874. Su demostración, bastante laboriosa, utiliza un argumento de intervalos encajados y el hecho de que toda sucesión creciente acotada posee un límite.
Dieciocho años después, volvió a abordar este asunto, mientras construía su teoría de las cardinalidades infinitas. Ofreció entonces una nueva demostración, mucho más sencilla, cuya fácil extensión permite además demostrar que la cardinalidad del conjunto de los subconjuntos de un conjunto es estrictamente mayor que la del propio conjunto. Este resultado se conoce como el teorema de Cantor. La segunda demostración que propuso, ligeramente adaptada, se popularizó con el nombre de método diagonal de Cantor.