Les ensembles

Un conjunto es una colección de objetos – los elementos – entre los cuales puede existir todo tipo de relaciones. A nivel elemental, se pueden visualizar los conjuntos mediante « patatoides » conectados por flechas para materializar las relaciones que los unen, pero esta representación naïve alcanza rápidamente sus límites, en particular cuando los conjuntos son infinitos. La teoría de conjuntos ofrece sobre todo un marco para la formalización rigurosa de todos los campos de las matemáticas y conduce a demostraciones sorprendentes: más que una simple teoría, es un nuevo enfoque de las matemáticas.

Los números están en el centro del edificio matemático. Después de un largo período en que se aprehendían por la intuición, la necesidad se hizo sentir de concebirlos con la ayuda de una axiomática rigurosa ; la introducida por Peano para los enteros naturales es el más bello ejemplo. La teoría de conjuntos desembocó posteriormente en la construcción de los racionales, los reales, los complejos. Inspirándose en estos métodos y generalizándolos, permitió definir estructuras más generales como la noción de grupo y proporcionar una base rigurosa a la geometría en el marco de la teoría de los espacios vectoriales.

Tan simple y fecunda como sea, la noción de conjunto revela, una vez sometida al análisis implacable del lógico, formidables problemas técnicos. Emergen paradojas: ¿se puede considerar el conjunto de todos los conjuntos? ¿Puede un conjunto ser un elemento de sí mismo? Los conjuntos infinitos plantean otras preguntas. ¿Cuántos tipos de infinitos fundamentalmente diferentes existen? El infinito, la autorreferencia, las paradojas, ocultos en emboscada, guardan bien sorpresas al viajero imprudente…