Las matemáticas se distinguen de las demás ciencias porque son las únicas que aportan demostraciones de determinadas propiedades. La ventaja del razonamiento demostrativo es que es seguro, incontestable y está a salvo de toda controversia, aunque este último aspecto no se establece de manera inmediata —como atestigua el ejemplo de la introducción de las geometrías no euclidianas—. Pero, con el tiempo, todas las mentes esclarecidas acaban rindiéndose ante la evidencia de las demostraciones que no contienen ningún error lógico.
En todos los demás ámbitos científicos, los modelos y las teorías se someten a un procedimiento de validación que consiste en comparar los resultados obtenidos a partir de un modelo con observaciones realizadas en el mundo real. En matemáticas no es necesario establecer ese tipo de procedimiento. Pero ¿qué es una demostración? Este tipo de razonamiento consiste en partir de premisas consideradas «evidentes», o ya demostradas, y emplear la lógica para establecer una propiedad determinada. Esta propiedad puede servir entonces como punto de partida, como premisa, para una nueva demostración…
Si recorremos el camino a la inversa, remontamos, en el marco de una teoría dada, el itinerario de todas las demostraciones para quedarnos únicamente con las premisas iniciales. Como el camino es finito, llegamos inevitablemente a aceptar afirmaciones de las que no podemos aportar demostración alguna: los axiomas.
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¿Verdades evidentes? ¡No siempre! --------------------------------------