El axioma de elección consiste en la posibilidad de elegir un elemento de cualquier conjunto no vacío. Más precisamente, dado un conjunto E cualquiera, hay que definir una función de elección para E, es decir, una función cuyo conjunto de partida es \*(E), el conjunto de los subconjuntos de E salvo el conjunto vacío, y cuyo conjunto de llegada es E.
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Elegir es imaginar…
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Una función de elección asocia a cada subconjunto de \(E) uno de sus elementos. Por ejemplo, si E = {1, 2, 3, 4, 5}, se define una función de elección asociando a cada subconjunto de E su elemento mínimo. Esta idea se generaliza si se sustituye E por un conjunto cuyos elementos se pueden numerar, es decir, un conjunto finito o numerable. De forma más general, este razonamiento muestra que se puede crear una función de elección para los conjuntos bien ordenados, es decir, aquellos en los que todo subconjunto no vacío admite un elemento mínimo. Se dice entonces que se trata de un buen orden*. ¡Por desgracia, los buenos órdenes son relativamente raros entre los órdenes habituales!
Al margen de este razonamiento sobre los conjuntos bien ordenados, no está claro cómo demostrar la existencia de una función de elección para un conjunto cualquiera. Por ello, en 1904 Ernst Zermelo introdujo, junto a sus axiomas de la teoría de conjuntos conocidos desde entonces como la axiomática de Zermelo–Fraenkel (o ZF), un axioma adicional, el axioma de elección: todo conjunto admite una función de elección.
