El mayor número… es igual a 1 -----------------------------------
Vértigo del infinito: supongamos que existe un número entero estrictamente positivo N que es el mayor número natural. Entonces N es igual a 1. En efecto, el cuadrado de todo número no nulo es mayor que ese número, salvo el cuadrado del número 1, que es igual a 1. Por tanto, N2 debe ser mayor o igual que N. Pero, por definición, como N es el mayor entero, ¡su cuadrado no puede ser mayor que él! Así pues, es igual a él: N2 = N, luego N = 1.
Esta demostración paradójica muestra que es indispensable demostrar la existencia de una solución a un problema antes de intentar calcularla —en este caso, asegurarse de que existe un mayor número natural… lo cual es falso—. De lo contrario, nuestro razonamiento se parece al de la yegua de Roldán (del Roland furieux de Ludovico Ariosto, llamado el Ariosto): posee todas las cualidades… ¡salvo la de existir!
Como no existe un mayor número entero, tampoco existe un conjunto que tenga más elementos que todos los demás —cuya cardinalidad sea mayor que la de cualquier otro conjunto—, ni un conjunto que contenga todos los conjuntos. Lástima para el argumento de san Anselmo sobre la existencia de Dios: «Es evidente que existe un ser tal que no se puede pensar ninguno mayor.» En el mismo orden de ideas, ¿cómo evaluar la riqueza —o la edad…— de Dios, que deben ser las mayores posibles?
-
Números que… ¡en realidad no existen! ------------------------------------------
Las conjeturas sobre los números son inagotables: «Una de las conjeturas más notables sobre los números de Mersenne es que el número de conjeturas sobre los números de Mersenne será siempre mayor que el número de números de Mersenne conocidos», dijo el matemático Waclaw Sierpinski. Con David Hilbert, interesémonos por un número muy particular: sea n el menor número entero que no habrá sido mencionado durante el siglo 21.º. Definamos ahora otro número m siguiendo a Max Black: sea m el menor número entero que no se define en ninguna parte de este número especial. Estos dos números, n y m, están perfectamente definidos, pero ya no cumplirían su definición si se explicitaran.
En 1905, cuando los fundamentos de las matemáticas parecen tambalearse bajo las paradojas de la lógica de conjuntos, Jules Richard expone la llamada paradoja del menor entero. Martin Gardner la evoca con su nombre anglosajón, la paradoja de Berry. He aquí otra versión: el número noventa y siete mil doscientos noventa y siete es curioso, pues puede definirse como un «número no especificable en menos de diez palabras». Sin embargo, esta definición tiene a su vez estrictamente menos de diez palabras y especifica, por consiguiente, un número que solo debería poder especificarse mediante una definición de diez palabras o más…
-
Volvamos a Epiménides… --------------------
Las paradojas de conjuntos se consideran paradojas del lenguaje, cuyo prototipo es la de Epiménides. «Miento» significa «miento siempre», y también «el conjunto de las frases que pronuncio está compuesto enteramente por frases falsas». Ahora bien, esta frase es a su vez un elemento de ese conjunto. Quien pronuncia esta frase miente, y la paradoja comienza con la confusión entre un conjunto —el de las frases— y uno de sus elementos —la frase «Miento»—.
Según Ludwig Wittgenstein, todo lenguaje posee una estructura sobre la que, dentro de ese mismo lenguaje, no se puede decir nada, pero existe otro lenguaje cuyo objeto es la estructura del primero. Carnap y Tarski precisan estos niveles: en el primer nivel, el lenguaje trata de los objetos; el lenguaje de segundo nivel —o metalenguaje— trata a su vez del lenguaje, y así sucesivamente. Retomemos la frase «Esta frase es falsa»: el primer nivel es lo que la frase dice sencillamente, y el segundo, lo que la frase dice sobre sí misma. Pero la frase no puede ser a la vez objeto y sujeto, del mismo modo que no se puede ser simultáneamente elemento y conjunto.
-
Convertir una derrota en victoria --------------------------------
Gödel estudió los conceptos de proposiciones decidibles o indecidibles, de completitud o incompletitud, de consistencia o inconsistencia de las teorías, de su posible reducibilidad unas a otras y de «metamatemática». Russell y Whitehead elaboraron la teoría de los tipos lógicos, que tendría posteriormente una repercusión inesperada en… psiquiatría, al inspirar los trabajos de Gregory Bateson y de la Escuela de Palo Alto, basada en conminaciones paradójicas como: «¡Desobedece!» o «¡Sé natural!». Pruebas todas ellas del gran interés heurístico de las paradojas.
Al utilizar las aporías de la lógica de conjuntos como trampolín para alcanzar nuevos conocimientos, lógicos y matemáticos acabaron por «convertir una derrota en victoria». André Weil escribió: «Dios existe porque las matemáticas son coherentes, y el diablo existe porque no podemos demostrarlo.»