Il numero più grande… è uguale a 1 -----------------------------------
Vertigine dell’infinito: supponiamo che esista un numero naturale strettamente positivo N che sia il più grande. Allora N è uguale a 1. Infatti, il quadrato di ogni numero non nullo è maggiore del numero stesso, tranne il quadrato di 1, che è uguale a 1. Dunque N2 deve essere maggiore o uguale a N. Ma, per definizione, N è il più grande intero, quindi il suo quadrato non può essere maggiore di N! Gli è dunque uguale: N2 = N, quindi N = 1.
Questa dimostrazione paradossale mostra quanto sia indispensabile dimostrare l’esistenza di una soluzione a un problema prima di cercare di calcolarla (in questo caso, accertarsi che esista un massimo numero naturale… il che è falso). Altrimenti, si ragiona come con la giumenta di Rolando (dell’Orlando furioso di Ludovico Ariosto, detto l’Ariosto): possiede tutte le qualità… tranne quella di esistere!
Poiché non esiste un massimo numero naturale, non esiste neppure un insieme con più elementi di tutti gli altri (la cui cardinalità sia maggiore di quella di qualunque altro insieme), né un insieme che contenga tutti gli insiemi. Peccato per l’argomento di sant’Anselmo sull’esistenza di Dio: «È evidente che esiste un essere del quale non si può pensare nulla di più grande.» Nello stesso ordine di idee, come valutare la ricchezza (o l’età…) di Dio, che devono essere le più grandi possibili?
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Numeri che non esistono… davvero! ------------------------------------------
Le congetture sui numeri sono inesauribili: «Una delle congetture più notevoli sui numeri di Mersenne è che il numero di congetture sui numeri di Mersenne sarà sempre maggiore del numero di numeri di Mersenne conosciuti», disse il matematico Waclaw Sierpinski. Con David Hilbert, interessiamoci a un numero molto particolare: sia n il più piccolo numero intero che non sarà stato menzionato durante il 21º secolo. Ora definiamo un altro numero, m, seguendo Max Black: sia m il più piccolo numero intero che non è definito da nessuna parte in questo numero speciale. Questi due numeri, n e m, sono perfettamente definiti, eppure non rientrerebbero più nella loro definizione se li esplicitassimo!
Nel 1905, quando i fondamenti della matematica sembravano vacillare sotto i paradossi della teoria degli insiemi, Jules Richard espose un paradosso detto del più piccolo intero. Martin Gardner lo cita con il suo nome anglosassone, il paradosso di Berry. Eccone un’altra versione: il numero novantasettemiladuecentonovantasette è curioso, nel senso che può essere definito come un «numero non specificabile in meno di dieci parole». Tuttavia, questa definizione è essa stessa composta da meno di dieci parole e specifica quindi un numero che dovrebbe essere specificato solo da una definizione di dieci parole o più…
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Rendiamo a Epimenide… --------------------
I paradossi degli insiemi sono assimilati a paradossi del linguaggio, il cui prototipo è quello di Epimenide. «Mento» significa «Mento sempre», e dunque anche «tutte le frasi che pronuncio sono false». Ora, questa frase è essa stessa un elemento di quell’insieme. Chi pronuncia questa frase mente, e il paradosso nasce dalla confusione tra un insieme (quello delle frasi) e uno dei suoi elementi (la frase «Mento»).
Secondo Ludwig Wittgenstein, ogni linguaggio possiede una struttura sulla quale, all’interno di quello stesso linguaggio, non si può dire nulla; esiste però un altro linguaggio che ha per oggetto la struttura del primo. Carnap e Tarski precisano questi livelli: al primo livello, il linguaggio tratta degli oggetti; il linguaggio di secondo livello (o metalinguaggio) tratta a sua volta del linguaggio, e così via. Riprendiamo la frase «Questa frase è falsa»: il primo livello è ciò che la frase dice semplicemente, il secondo ciò che dice di se stessa. Ma la frase non può essere al tempo stesso oggetto e soggetto, così come non si può essere simultaneamente elemento e insieme.
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Trasformare una sconfitta in vittoria --------------------------------
Gödel studiò i concetti di proposizioni decidibili o indecidibili, di completezza o incompletezza, di consistenza o inconsistenza delle teorie, della loro eventuale riducibilità l’una all’altra e di «metamatematica». Russell e Whitehead elaborarono la teoria dei tipi logici, che avrebbe poi avuto una ricaduta inattesa nella… psichiatria, ispirando i lavori di Gregory Bateson e della Scuola di Palo Alto, fondata sulle ingiunzioni paradossali del tipo: «Disobbeditemi!» o «Siate naturali!». Tante prove del grande interesse euristico dei paradossi.
Usando le aporie della logica degli insiemi come trampolini verso nuove conoscenze, logici e matematici finirono dunque per «trasformare una sconfitta in vittoria». André Weil scrisse: «Dio esiste perché la matematica è coerente, e il diavolo esiste perché non possiamo dimostrarlo.»