L’assioma della scelta consiste nella possibilità di scegliere un elemento in ogni insieme non vuoto. Più precisamente, dato un insieme E qualunque, si tratta di definire una funzione di scelta su E, ossia una funzione che ha come insieme di partenza \*(E), l’insieme delle parti di E privato dell’insieme vuoto, e come insieme di arrivo E.
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Scegliere significa immaginare…
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La particolarità di una funzione di scelta consiste nell’associare a ogni sottoinsieme di \(E) uno dei suoi elementi. Per esempio, se E = {1, 2, 3, 4, 5}, si definisce una funzione di scelta associando a ogni sottoinsieme di E il suo elemento più piccolo. Questa idea si generalizza se si sostituisce E con un insieme i cui elementi si possono numerare, cioè un insieme finito o numerabile. Più in generale, questo ragionamento mostra che si può creare una funzione di scelta sugli insiemi ben ordinati, cioè quelli in cui ogni sottoinsieme non vuoto ammette un elemento più piccolo. L’ordine è allora detto buono*. Purtroppo, la bontà degli ordini è relativamente rara tra gli ordini usuali!
A parte questo ragionamento sugli insiemi ben ordinati, non si vede bene che cosa permetta di affermare l’esistenza di una funzione di scelta su un insieme qualunque. Per questo, nel 1904 Ernst Zermelo introdusse, accanto ai suoi assiomi della teoria degli insiemi, noti da allora come assiomatica di Zermelo–Fraenkel (o ZF), un assioma supplementare, l’assioma della scelta: ogni insieme ammette una funzione di scelta.
