L’esistenza dell’insieme vuoto ∅\emptyset impone di tenerne conto ogni volta che si definisce un’operazione sugli insiemi. Sorprendentemente, ciò semplifica la descrizione dell’insieme delle parti di un insieme. L’unico sottoinsieme dell’insieme vuoto è infatti… l’insieme vuoto stesso. Si tratta poi di descrivere ciò che accade quando si aggiunge un elemento x a un insieme E per ottenere un insieme F F=E∪{x}F=E\cup\{x\}, supponendo di conoscere già l’insieme delle parti di E, cioè P(E)\mathcal{P}(E). Se un sottoinsieme di F contiene x, è ottenuto aggiungendo x a un elemento di P(E)\mathcal{P}(E); altrimenti è un elemento di P(E)\mathcal{P}(E). Abbiamo così descritto tutti i sottoinsiemi di F. Aggiungendo un elemento a E, il numero dei suoi sottoinsiemi raddoppia dunque. Poiché l’insieme vuoto ha un solo sottoinsieme, per induzione si deduce che, se E ha un numero finito n di elementi, P(E)\mathcal{P}(E) ha 2n elementi. Questo metodo permette inoltre di trovare l’insieme delle parti di un qualunque insieme finito. Vediamolo in un caso semplice.
Per ottenere l’insieme delle parti di {1, 2, 3}, partiamo da P(∅)=∅\mathcal{P}(\emptyset)=\emptyset, poi consideriamo {1}=∅∪{1}\{1\}=\emptyset\cup\{1\}, ottenendo
P({1})={∅,{1}}.\mathcal{P}(\{1\})=\{\emptyset,\{1\}\}.
Consideriamo quindi {1,2}={1}∪{2}\{1,2\}=\{1\}\cup\{2\}, ottenendo
P({1,2})={∅,{1},{2},{1,2}}\mathcal{P}(\{1,2\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}