La existencia del conjunto vacío ∅\emptyset obliga a tenerlo en cuenta cuando se quiere definir una operación con conjuntos. Sorprendentemente, esto simplifica la descripción del conjunto de las partes de un conjunto. Para empezar, la única parte del conjunto vacío es… el propio conjunto vacío. A continuación, se trata de describir lo que ocurre cuando se añade un elemento x a un conjunto E para obtener una parte F=E∪{x}F=E\cup\{x\}, suponiendo que ya conocemos el conjunto de las partes de E, es decir, P(E)\mathcal{P}(E). Si una parte de F contiene x, se obtiene añadiendo x a un elemento de P(E)\mathcal{P}(E); si no, es un elemento de P(E)\mathcal{P}(E). Así describimos todas las partes de F. Por tanto, al añadir un elemento a E, se duplica el número de sus partes. Como el vacío solo tiene una parte, por inducción se deduce que, si E tiene un número finito n de elementos, P(E)\mathcal{P}(E) tiene 2n elementos. Este método permite además hallar el conjunto de las partes de cualquier conjunto finito. Veamos cómo funciona en un caso sencillo.
Para obtener el conjunto de las partes de {1, 2, 3}, se parte de P(∅)=∅\mathcal{P}(\emptyset)=\emptyset y después se considera {1}=∅∪{1}\{1\}=\emptyset\cup\{1\}, lo que da
P({1})={∅,{1}}.\mathcal{P}(\{1\})=\{\emptyset,\{1\}\}.
A continuación se considera {1,2}={1}∪{2}\{1,2\}=\{1\}\cup\{2\}, con lo que se obtiene
P({1,2})={∅,{1},{2},{1,2}}\mathcal{P}(\{1,2\})=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}