Conjuntos, relaciones y aplicaciones: un nuevo enfoque
Un conjunto es una colección de objetos – los elementos – entre los cuales puede existir todo tipo de relaciones. A nivel elemental, se pueden visualizar los conjuntos mediante « patatoides » conectados por flechas para materializar las relaciones que los unen, pero esta representación naïve alcanza rápidamente sus límites, en particular cuando los conjuntos son infinitos. La teoría de conjuntos ofrece sobre todo un marco para la formalización rigurosa de todos los campos de las matemáticas y conduce a demostraciones sorprendentes: más que una simple teoría, es un nuevo enfoque de las matemáticas.
Todos los artículos de este dossier
Georg Cantor: del finito al infinito
Para generalizar a los conjuntos infinitos resultados prácticos sobre los conjuntos finitos, Cantor definió la igualdad de cardinalidades mediante la noción de biyección y, por tanto, la desigualdad mediante las nociones de inyección y de aplicación sobreyectiva. Lo sorprendente es que se obtiene una relación de orden.
De la colección de objetos al conjunto
Un conjunto puede definirse por extensión o por comprensión. Construir entonces los números enteros es un ejercicio sencillo, pero formativo. Sin embargo, cuidado con la aparente simplicidad de la noción de conjunto, entendida como una mera colección de objetos: las paradojas acechan...
El conjunto y sus subconjuntos
Las operaciones elementales con conjuntos incluyen la inclusión, la unión, la intersección, la diferencia simétrica... La noción de conjunto de las partes también es natural y fecunda. ¿Cómo describir, contar y estructurar el conjunto de las partes?
Diagramas de patata, una idea que anima
Cuando se consideran varios subconjuntos de un mismo conjunto, puede resultar difícil identificar bien sus distintas intersecciones. Representar esos subconjuntos mediante «patatoides» suele ayudar a distinguir mejor sus intersecciones y a no hacer el ridículo ante cuestiones más sencillas de lo que parecen.
Las reglas del infinito
No se juega con conjuntos sin tener que someterse a ciertas reglas...
Relaciones y aplicaciones: estructurar los conjuntos
La noción de relación entre conjuntos es indispensable para poder empezar a hacer matemáticas. Este concepto de relación, en el núcleo de los fundamentos de las matemáticas, incluye como caso particular el de aplicación y permite dotar a los conjuntos de estructuras.
El nombre de los elementos de un conjunto
Como afirmó David Hilbert en una frase que se ha hecho célebre, asignar un nombre a un objeto matemático es artificial. En cambio, identificar un objeto con su imagen mediante una biyección de modo que se pongan de relieve sus propiedades puede ser decisivo.
Deslumbrantes relaciones binarias
Los hombres nacen libres e iguales en derechos. Sin embargo, Coluche podía añadir, no sin malicia, que «algunos son más iguales que otros» ¡! Definir un orden o una «igualdad» en cierto sentido exige delimitar bien qué abarcan estas nociones.
Dedekind y los conjuntos — Breve matemática | Tangente
Uno de los primeros impulsores de la teoría de conjuntos fue el alemán Dedekind, que mantuvo una célebre correspondencia con Cantor.