Se distinguen tres tipos de fundamentos de las matemáticas. El fundamento lógico consiste en demostrar la ausencia de contradicción en todo el campo de las matemáticas. No debería ser posible demostrar, mediante dos demostraciones válidas, que una proposición es a la vez verdadera y falsa. Un fundamento axiomático parte de un número finito de axiomas a partir de los cuales deben poder deducirse todas las matemáticas, con ayuda de las reglas de deducción de una lógica dada. Esta opción se corresponde con el marco de la teoría de conjuntos.
El fundamento conceptual de las matemáticas, representado por la teoría de categorías, determina los conceptos fundamentales y sus vínculos, y constituye así la gramática y la sintaxis de un lenguaje universal que permite pensar todas las matemáticas. El enfoque subyacente responde al más puro espíritu matemático: interesarse por el fondo antes que por la forma; ¡un grupo es más una estructura que un conjunto! Estos dos últimos enfoques son hermanos: la teoría de categorías puede servir de fundamento axiomático y la teoría de conjuntos, de fundamento conceptual. Por eso la noción de relación, inherente a la teoría de conjuntos y estrechamente vinculada con la noción de estructura, desempeña un papel primordial en matemáticas.
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Relaciones entre pares ordenados --------------------