Richard Dedekind: un primer esbozo de teoría de conjuntos
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Los trabajos de Richard Dedekind (1831–1916) en teoría de números se basaron en un amplio uso de los conjuntos. Así, introdujo, en el ámbito de los números algebraicos, las nociones de ideal y de cuerpo, y fue el primero en enseñar en Alemania la teoría de Galois. Antes de los trabajos de Cantor, Dedekind utilizó sin reparos colecciones infinitas que todavía hacían fruncir el ceño a algunos de sus contemporáneos.
Dedekind también utiliza los conjuntos en sus trabajos «fundacionales» para definir los números reales y los números naturales. En particular, su definición del conjunto de los naturales en 1888, en ¿Qué son y para qué sirven los números?, se apoya en un arsenal conceptual conjuntista desarrollado explícitamente al comienzo de su memoria. Define el concepto de conjunto, al que llama «sistema»: «Muy a menudo ocurre que cosas distintas a, b, c… se reúnen, por algún motivo, bajo un punto de vista común, se agrupan en el pensamiento y se dice entonces que forman un sistema S.» También da definiciones rigurosas de varias nociones conjuntistas (por ejemplo, conjunto infinito o equipotencia) y demuestra numerosos resultados importantes. En esta obra se encuentra, por tanto, un primer esbozo de teoría abstracta de conjuntos, aunque todavía está lejos de la teoría axiomática ZFC.
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La oposición de Kronecker
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Entre los matemáticos que cuestionaban la noción de conjuntos infinitos, uno de los más virulentos fue Leopold Kronecker. Es conocida su violenta oposición a Cantor. Para él, la teoría de Cantor quizá sea filosofía o teología, pero desde luego no matemáticas.
Kronecker también criticó los trabajos de Dedekind, con quien rivalizó en el estudio de los números algebraicos. Desde su punto de vista, los métodos conjuntistas, que no son constructivos y recurren al infinito actual, confieren a los trabajos de Dedekind una abstracción excesiva y los hacen difíciles de comprender y juzgar.
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Una rica correspondencia con Cantor
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A partir de 1872, Dedekind mantuvo una correspondencia abundante, aunque irregular, con Cantor. Hablaron principalmente de los trabajos de este último, que la mayor parte del tiempo tomaba la iniciativa de escribir y buscaba la opinión de su compatriota. Precisamente la aprobación de Dedekind es lo que busca Cantor cuando descubre que el conjunto de los puntos de una superficie como el cuadrado tiene el «mismo tamaño» que el conjunto de los puntos de un segmento. Tras enviar su demostración a Dedekind, le escribe: «Mientras usted no me dé la razón, solo puedo decir: lo veo, pero no lo creo.»
Dedekind estaba firmemente convencido de la utilidad y la legitimidad de los conjuntos infinitos. Incluso después de la publicación de las paradojas de Russell, acabó aceptando publicar una tercera edición de su libro sobre los números naturales y escribió en el prefacio que su fe en «la armonía interna de nuestra lógica no se ve por ello sacudida».
