Infinito, axiomática y paradojas
Tan simple y fecunda como sea, la noción de conjunto revela, una vez sometida al análisis implacable del lógico, formidables problemas técnicos. Emergen paradojas: ¿se puede considerar el conjunto de todos los conjuntos? ¿Puede un conjunto ser un elemento de sí mismo? Los conjuntos infinitos plantean otras preguntas. ¿Cuántos tipos de infinitos fundamentalmente diferentes existen? El infinito, la autorreferencia, las paradojas, ocultos en emboscada, guardan bien sorpresas al viajero imprudente…
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El axioma de elección
Poder elegir un elemento de un conjunto parece natural. Sin embargo, solo lo es verdaderamente si el conjunto es finito. Más allá de eso, ¡se necesita un axioma para poder elegir! Algunas consecuencias de este axioma son sorprendentes; entonces… ¿debemos aceptarlo?
¿Qué son los axiomas? — Geometría | Tangente
En matemáticas, todas las demostraciones parten de premisas que se suponen verdaderas. ¿Qué forma particular adoptan para convertirse en los axiomas, base de todas nuestras teorías actuales?
¡Benditas paradojas! (1) — Breve nota matemática | Tangente
La paradoja es a la lógica lo que el experimento es al físico: permite ajustar la teoría a la pregunta que plantea un resultado alarmante. Es un trampolín para el espíritu.
La multiplicidad de los infinitos
El infinito actual es una ficción matemática útil tanto en los cálculos como en las demostraciones. Puede rechazarse y contentarse con el infinito potencial. Pero, si se admite la noción de infinito, necesariamente ha de ser múltiple. Georg Cantor, una vez más, lo demostró.
¡Malditas paradojas! (2) — Breve matemática | Tangente
Dios existe porque las matemáticas son coherentes, y el diablo existe porque no podemos demostrarlo...