Los pensadores de la Antigüedad sabían que había más números enteros que cualquier valor dado de antemano, pero se negaban a considerar la totalidad de todos esos números. Solo unos pocos grandes precursores, como Galileo, Leibniz, Bolzano, Riemann y Dedekind, lograron que se aceptara paulatinamente la existencia del infinito actual (que pasa a ser un objeto entre otros y deja de ser una vaguedad indefinida). Richard Dedekind (1831-1916) fue el primero en proponer una definición del infinito: un conjunto X es infinito si existe una biyección (a la que llama correspondencia biunívoca) entre X y un subconjunto estricto de sí mismo. Por ejemplo, la función sucesor de ℕ en ℕ \\ {0}, que asocia a n el valor n + 1, es una biyección: todo elemento de ℕ tiene un único sucesor en ℕ \\ {0}, y todo elemento de ℕ \\ {0} tiene un único predecesor en ℕ.

Richard Dedekind hacia 1886.

Las paradojas y la crisis de los fundamentos ----------------------------------------
Desde la década de 1870, Georg Cantor (1845-1918) se interesó especialmente por el infinito. En 1873 demuestra que los conjuntos ℤ y ℚ son numerables, en el sentido de que pueden ponerse en biyección con ℕ; en cambio, ℝ no es numerable: en cierto sentido, hay estrictamente más números reales que enteros.