La geometría fue el primer ámbito de las matemáticas en ser axiomatizado: ese es el gran proyecto de los Éléments de Euclides. Sin embargo, el llamado axioma de las paralelas (véase «El origen de la racionalidad») plantea un problema. Las geometrías no euclidianas, elaboradas en el siglo 19.º, ponen de manifiesto que no puede deducirse de los demás axiomas. Henri Poincaré (1854-1912) ofrece una bella ilustración con el semiplano que lleva su nombre y que permite representar la geometría hiperbólica en el plano euclídeo: se considera el semiplano complejo de parte imaginaria estrictamente positiva y se lo dota de una métrica algo particular, con cierta curvatura. Entonces, las «rectas» de ese semiplano resultan ser semirrectas verticales y semicírculos —en sentido euclídeo—. Esto permite trazar infinitas rectas paralelas a una misma «recta» y, por tanto, invalida el axioma de las paralelas.
El semiplano de Poincaré.
En este contexto, además muy proclive a la axiomatización, se hace necesario revisar la estructura dada por Euclides.
Sencillez, independencia y articulación ----------------------------------------