David Hilbert y los fundamentos de la geometría
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El matemático alemán David Hilbert es uno de los primeros cuyo nombre se asocia a la abstracción en matemáticas, en particular a su axiomatización. Uno de sus trabajos más conocidos consiste en una fundamentación rigurosa de la geometría. Esta, construida por Euclides en sus Elementos, pero con presupuestos implícitos procedentes de la intuición, ya no respondía al rigor exigido a finales del 19.º siglo.
Hilbert fundamenta la geometría elemental del espacio en un sistema de veinte axiomas. En él aparecen tres objetos primitivos (que, por tanto, no se definen): el punto, la recta y el plano. A este respecto, decía que se podían sustituir las palabras «punto», «recta» y «plano» por «mesa», «silla» y «jarra de cerveza» y seguir haciendo geometría, pues lo único importante son las relaciones entre esos términos.
Entre estos axiomas figura, por supuesto, el famoso postulado de Euclides: en un plano, por un punto exterior a una recta, existe como mucho una recta paralela a dicha recta.
Nicolas Bourbaki y la renovación de las matemáticas
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En Francia, cuando se habla de abstracción en matemáticas, el nombre que sin duda aparece con mayor frecuencia es el de Nicolas Bourbaki. ¿Quién es?
Se trata de un grupo de matemáticos constituido a partir de diciembre de 1934 en torno a Henri Cartan (1904 —2008) y André Weil (1906 —1998), hermano de la filósofa Simone Weil. Se establecieron unas normas de funcionamiento: sus miembros debían renovarse por cooptación, permanecer anónimos y abandonar el colectivo al cumplir 50 años.
Insatisfechos con los tratados de la época que trataban, entre otras cosas, de las integrales múltiples, decidieron escribir un gran tratado de análisis. Muy pronto, el proyecto se amplió hasta abarcar todas las matemáticas que algunos podrían llamar «puras». El título del tratado pasó a ser Éléments de mathématique; la referencia al título de la obra principal de Euclides y el singular de «mathématique» son, evidentemente, deliberados. En la edición actual hay unos treinta fascículos. Este tratado es una referencia de las llamadas «matemáticas abstractas», basadas en un método axiomático y en la noción de estructura. Sin embargo, Bourbaki no quiso incluir la noción de categoría (véase el artículo «La teoría de las categorías, un “abstract nonsense”» ?), aunque varios de sus miembros eran especialistas en ella.
Pese a una muerte anunciada en 1968 en clave de broma y a una actividad menor, el grupo sigue organizando seminarios todos los años y trabajando en la redacción de su gran tratado. Su influencia alcanzó su apogeo en las décadas de 1960 y 1970.
Laurent Lafforgue, de la geometría algebraica a la industria
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Laurent Lafforgue, nacido en 1966, nunca fue alumno de Grothendieck (véase En breve «El método de Alexandre Grothendieck»). Sin embargo, forma parte de los matemáticos que trabajan en la estela de la obra de este último. ¡Y de qué manera! Al generalizar un método introducido por Vladimir Drinfeld, matemático ucraniano nacido en 1954 y galardonado con la medalla Fields en 1990, demostró algunas de las conjeturas de Langlands en un caso importante, lo que le valió la medalla Fields en 2002. Desde entonces trabaja, entre otras cosas, en la teoría de los topos, noción introducida por Grothendieck.
Las conjeturas de Langlands tratan de los vínculos entre la teoría de números y otras partes de las matemáticas, como la teoría de representaciones de grupos o las formas automorfas (véase nuestro dossier «Matemáticas alrededor del mundo: Canadá» en Tangente 149, 2015). Aún constituyen uno de los grandes proyectos del 21.º siglo; fueron enunciadas en 1967 por Robert Langlands, nacido en 1936 y premio Abel en 2018, y posteriormente generalizadas en el marco introducido por Grothendieck. La demostración del teorema de Fermat por Andrew Wiles en 1994 utiliza técnicas introducidas a este respecto.
Profesor en el Institut des hautes études scientifiques (IHES) de 2000 a 2021, como lo había sido Grothendieck entre 1958 y 1970, Laurent Lafforgue ocupó en el IHES la cátedra de geometría algebraica creada en 2019 por Huawei (empresa china de tecnologías de la información y la comunicación). En 2021 dejó el IHES para incorporarse al centro de investigación de Huawei, donde continuará sus investigaciones sobre los topos y sus posibles aplicaciones. ¡Hoy en día, incluso los sectores industriales se interesan por el «abstract nonsense»!
