La abstracción en matemáticas
Entre lo que distingue a las matemáticas de las otras ciencias figura, sin duda, la capacidad de abstraer un conocimiento, un objeto, una idea, una noción, sin tener que referirse a una realidad « sensible ». Además, la cuestión de la existencia de los conceptos matemáticos tales como el número o el punto ha hecho « cavilar » a las mentes más grandes, de Platón a Hilbert pasando por Leibniz y Whitehead. El advenimiento del álgebra permitió « ganar potencia » al identificar y estudiar estructuras cada vez más generales, las cuales se propagaron luego en numerosos dominios de las matemáticas, en particular en geometría algebraica. En este marco, Alexandre Grothendieck se ilustró particularmente, introduciendo ideas que sorprenden por su grado de abstracción… ¡y su fecundidad! Pero ¿podría todo esto no ser más que un « simple » proceso mecánico observable por los neurólogos?
Todos los artículos de este dossier
La construcción de imágenes mentales y la abstracción | Tangente
¿Puede hablarse de abstracción de manera concreta? La pregunta merece plantearse, pues en el lenguaje corriente «abstracto» y «concreto» suelen considerarse nociones opuestas. En realidad, las cosas son más sutiles. ¿Y si la abstracción no fuera más que una ilusión?
Maurice Fréchet: axiomatizar o desaxiomatizar | Tangente
El matemático francés Maurice Fréchet distinguía dos tipos de investigadores. Algunos trabajan esencialmente de manera abstracta, mientras que otros se preocupan por comprobar experimentalmente las predicciones a las que los ha conducido su enfoque matemático.
Del álgebra «concreta» al álgebra «abstracta»
En el siglo XXI, la idea de un álgebra «concreta» parece paradójica: para todos —alumnos de instituto, estudiantes y profesores—, esta disciplina es esencialmente abstracta y se dedica al estudio de estructuras (grupos, anillos, cuerpos, módulos y, en su caso, conjuntos ordenados…). No siempre fue así.
Pioneros de la abstracción matemática | Tangente
Encuentro con algunos pioneros de la abstracción en matemáticas.
Teoría de categorías: ¿un abstract nonsense? | Tangente
La esencia de las matemáticas modernas es la abstracción, en particular desde los años 1930 con la aparición del concepto de estructura. Pero ya en los años 1940 surgió un nuevo concepto, el de las categorías, acompañado de las ideas de funtor y transformación natural.
El método visionario de Alexandre Grothendieck | Tangente
Alexandre Grothendieck (véase nuestro dossier en Tangente 162, 2015) dejó una inmensa huella en las matemáticas del siglo XX.
Una noción abstracta: los filtros
La noción de filtro, elaborada por el francés Henri Cartan (1904 —2008) y anticipada por el polaco Alfred Tarski (1901—1983), puede considerarse una generalización de la noción de límite de una sucesión en el conjunto de los números reales.
Cryptarithme : Elles ont des ailes, énigme math | Tangente
Matemáticas y existencia: filosofía del número | Tangente
Como las matemáticas aspiran a un saber despojado de toda referencia a la realidad sensible, parece que nada se oponga más a ellas que la existencia. ¿Cómo podrían entonces expresar la singularidad de lo que es? Esta cuestión suscitó numerosas reflexiones entre los siglos XVII y XX.