Definir una categoría requiere especificar una colección de objetos y, para cada par de objetos, un conjunto de morfismos del primero al segundo. Por ejemplo, consideramos la colección de los conjuntos y, si E y F son dos conjuntos, el conjunto Mor(E, F) puede ser el de las aplicaciones de E en F; E es entonces el dominio de un elemento f de Mor(E, F), y F su codominio. A menudo se escribe f : E → F para expresar que f es una aplicación de E en F. Cuando F = E, se dispone de un elemento particular de Mor(E, E): la aplicación identidad, denotada por IE. Por último, si E, F y G son tres conjuntos y consideramos f : E → F y g : F → G, dos aplicaciones tales que el codominio de la primera esté incluido en el dominio de la segunda, definimos entonces g o f : E → G, la compuesta de f y g. Esta operación o, cuando está definida, es asociativa. La categoría así definida suele denotarse ENS.
Es bastante evidente que la noción de categoría de conjuntos pertenece a un nivel de abstracción superior al de conjunto, considerado a finales del 19.º siglo por Georg Cantor. Fue introducida por los matemáticos estadounidenses Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en los años 1940, en el marco de investigaciones sobre la teoría de grupos o incluso de topología algebraica.

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845—1918).