Teoria delle categorie: un abstract nonsense? | Tangente

Per definire una categoria occorre assegnare una collezione di oggetti e, per ogni coppia di oggetti, un insieme di morfismi dal primo oggetto al secondo. Per esempio, si considera la collezione degli insiemi e, se E e F sono due insiemi, Mor(E, F) può essere l’insieme delle applicazioni da E a F; E è allora il dominio di un elemento f di Mor(E, F), mentre F ne è il codominio. Spesso si scrive f : E → F per esprimere che f è un’applicazione da E a F. Nel caso in cui F = E, in Mor(E, E) si dispone di un elemento particolare: l’applicazione identica, indicata con I_E. Infine, se E, F e G sono tre insiemi e si considerano f : E → F e g : F → G, due applicazioni tali che il codominio della prima sia incluso nel dominio della seconda, si definisce allora g o f : E → G, la composta di f e g. Questa operazione o, quando è definita, è associativa. La categoria così definita si indica spesso con ENS.

È abbastanza chiaro che la nozione di categoria degli insiemi appartiene a un livello di astrazione superiore rispetto a quella di insieme, studiata alla fine del 19^º secolo da Georg Cantor. Fu introdotta dai matematici americani Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane negli anni Quaranta, nell’ambito di ricerche sulla teoria dei gruppi e sulla topologia algebrica.