Un indubbio interesse matematico
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Un ultrafiltro è un filtro che non è strettamente contenuto in alcun filtro. Nonostante questo alto grado di astrazione, la teoria degli ultrafiltri è particolarmente utile in matematica, sia perché consente di dimostrare con eleganza teoremi difficili, sia perché permette di creare nuovi concetti fondamentali. Eppure, ed è questo il paradosso, nessuno è in grado di costruire un ultrafiltro non banale. Ne esistono persino «molti», come si può dimostrare grazie al celebre assioma della scelta, ma è impossibile esibirne uno. Così, in matematica si usano talvolta oggetti che si suppongono esistere ma che non si sanno costruire!
Convergenza e limite
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La definizione della convergenza di una successione u di numeri reali, cioè di un’applicazione da ℕ in ℝ, è ben nota: u converge al numero reale a se, per ogni ε > 0, esiste un intero N tale che, se n ≥ N, allora |u(n) ‒ a| < ε.
Se E è un sottoinsieme di ℕ, si dice che E è cofinito se il suo complementare Ec è finito. Così, l’insieme E*ε degli interi n tali che |u(n) ‒ a| < ε è cofinito se u converge ad a. Viceversa, se Eε = {n* ℕ: |u(n) ‒ a| < ε} è cofinito per ogni ε > 0, allora la successione u converge ad a.
