David Hilbert e i fondamenti della geometria
-----------------------------------------------
Il matematico tedesco David Hilbert fu tra i primi il cui nome venne associato all’astrazione in matematica, in particolare alla sua assiomatizzazione. Uno dei suoi lavori più noti consiste nel fondare rigorosamente la geometria. Questa, costruita da Euclide nei suoi Éléments, ma su presupposti impliciti derivati dall’intuizione, non rispondeva più al rigore richiesto alla fine del 19º secolo.
Hilbert fonda la geometria elementare dello spazio su un sistema di venti assiomi. Vi compaiono tre oggetti primitivi (che dunque non sono definiti): punto, retta e piano. A questo proposito, diceva che si potevano sostituire le parole «punto», «retta» e «piano» con «tavolo», «sedia» e «boccale di birra» e continuare a fare geometria, poiché contano soltanto le relazioni tra questi termini.
Tra questi assiomi troviamo, naturalmente, il celebre postulato di Euclide: in un piano, per un punto esterno a una retta, passa al massimo una retta parallela a quella retta.
Nicolas Bourbaki e il rinnovamento della matematica
----------------------------------------
In Francia, quando si parla di astrazione matematica, il nome che ricorre senza dubbio più spesso è quello di Nicolas Bourbaki. Chi è?
Si tratta di un gruppo di matematici formatosi nel dicembre 1934 attorno a Henri Cartan (1904-2008) e André Weil (1906-1998), fratello della filosofa Simone Weil. Erano stabilite alcune regole di funzionamento: i membri del gruppo dovevano essere cooptati, restare anonimi e lasciare il gruppo al compimento dei 50 anni.
Insoddisfatti dei testi dell’epoca che trattavano, tra l’altro, gli integrali multipli, decisero di scrivere un grande trattato di analisi. Ben presto il progetto si ampliò fino a comprendere tutta la matematica che alcuni potrebbero definire «pura». Il titolo del trattato divenne Éléments de mathématique, con un evidente richiamo al titolo dell’opera principale di Euclide e con il singolare di «mathématique» scelto deliberatamente. L’edizione attuale comprende circa trenta fascicoli. Questo trattato è un riferimento per quella che si potrebbe chiamare «matematica astratta», basata sul metodo assiomatico e sulla nozione di struttura. Bourbaki non ha tuttavia voluto includere la nozione di categoria (vedi l’articolo La teoria delle categorie, un «abstract nonsense» ?), sebbene molti dei suoi membri ne fossero specialisti.
Nonostante un falso annuncio della sua morte, diffuso per scherzo nel 1968, e un’attività ridotta, il gruppo continua a organizzare seminari ogni anno e a lavorare alla redazione del suo grande trattato. La sua influenza raggiunse l’apice negli anni Sessanta e Settanta.
Laurent Lafforgue, dalla geometria algebrica all’industria
-----------------------------------------------------------
Laurent Lafforgue, nato nel 1966, non è mai stato allievo di Grothendieck (vedi In breve «Il metodo di Alexandre Grothendieck»). Fa però parte dei matematici che lavorano nel solco delle ricerche di quest’ultimo. E in che modo! Generalizzando un metodo introdotto da Vladimir Drinfeld, matematico ucraino nato nel 1954 e insignito della medaglia Fields nel 1990, dimostrò una parte delle congetture di Langlands in un caso importante, ottenendo così la medaglia Fields nel 2002. Da allora lavora, tra l’altro, sulla teoria dei topos, nozione introdotta da Grothendieck.
Le congetture di Langlands riguardano i legami tra la teoria dei numeri e altre parti della matematica, come la teoria delle rappresentazioni dei gruppi o le forme automorfe (vedi il nostro dossier «Matematica intorno al mondo: il Canada» in Tangente 149, 2015). Costituiscono tuttora uno dei grandi filoni di ricerca del 21º secolo: furono enunciate nel 1967 da Robert Langlands, nato nel 1936 e premio Abel nel 2018, poi generalizzate nel quadro introdotto da Grothendieck. La dimostrazione del teorema di Fermat data da Andrew Wiles nel 1994 utilizza tecniche introdotte in questo ambito.
Professore all’Istituto di studi scientifici avanzati (IHES) dal 2000 al 2021, come lo era stato Grothendieck tra il 1958 e il 1970, Laurent Lafforgue ha ricoperto, presso l’IHES, la cattedra di geometria algebrica creata nel 2019 da Huawei (azienda cinese attiva nelle tecnologie dell’informazione e della comunicazione). Nel 2021 ha lasciato l’IHES per entrare nel centro di ricerca Huawei, dove prosegue le sue ricerche sui topos e sulle loro possibili applicazioni. Oggi persino gli ambienti industriali si interessano all’«abstract nonsense»!
