Un indudable interés matemático
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Un ultrafiltro es un filtro que no está contenido estrictamente en ningún otro filtro. Pese a este alto grado de abstracción, su teoría resulta especialmente útil en matemáticas, ya sea porque permite demostrar con elegancia teoremas difíciles o porque posibilita la creación de nuevos conceptos fundamentales. Sin embargo, y ahí reside la paradoja, nadie es capaz de construir un ultrafiltro no trivial. Incluso existen «muchos», como puede demostrarse gracias al célebre axioma de elección, pero es imposible exhibir uno. Así pues, en matemáticas se utilizan a veces objetos cuya existencia se supone, pero que no se sabe construir.
Convergencia y límite
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La definición de la convergencia de una sucesión u de números reales (es decir, una función de ℕ en ℝ) es bien conocida: u converge al número real a si, para todo ε > 0, existe un número entero N tal que, si n ≥ N, entonces |u(n) ‒ a| < ε .
Si E es un subconjunto de ℕ, se dice que E es cofinito si su complementario Ec es finito. Así, el conjunto E*ε de los enteros n tales que |u(n) ‒ a| < ε es cofinito si u converge a a. Recíprocamente, si Eε = {n* ℕ: |u(n) ‒ a| < ε} es cofinito para todo ε > 0, entonces la sucesión u converge a a.
