La géométrie est le premier domaine des mathématiques à avoir été axiomatisé : c’est le grand projet des Éléments d’Euclide. Néanmoins, l’axiome dit des parallèles (voir "L'origine de la rationnalité") pose problème. Élaborées au XIXe siècle, les géométries non euclidiennes mettent en évidence le fait qu’il n’est pas déductible des autres axiomes. Une belle illustration en est donnée par Henri Poincaré (1854-1912) avec le demi-plan qui porte son nom et qui permet de représenter la géométrie hyperbolique dans le plan euclidien : on se place dans le demi-plan complexe à partie imaginaire strictement positive et on le munit d’une métrique un peu particulière qui possède une certaine courbure. Alors, les « droites » de ce demi-plan s’avèrent être des demi-droites verticales et des demi-cercles (au sens euclidien). Cela permet de tracer une infinité de parallèles à une même « droite » et donc de mettre en défaut l’axiome des parallèles.
Le demi-plan de Poincaré.
C’est dans ce contexte, qui plus est très enclin à l’axiomatisation, qu’il apparaît nécessaire de revoir la structuration donnée par Euclide.
