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El hotel de Hilbert ----------------------
En una conferencia sobre el infinito que pronunció en 1925, para explicar que el infinito no podía encontrarse en la realidad, David Hilbert inventó el hotel imaginario que hoy lleva su nombre. Se trata de un hotel con una infinidad de habitaciones numeradas con los números naturales 1, 2, 3... Este objeto habría caído sin duda en el olvido hoy en día si George Gamow no lo hubiera popularizado en su libro Uno, dos, tres... el infinito, publicado en 1947.
El hotel de Hilbert está lleno cuando llega un cliente. El recepcionista le asigna la habitación número 1 y llama simultáneamente a todos los clientes para pedirles que se trasladen a la habitación siguiente a la que ocupan (el ocupante de la habitación n se muda a la habitación n + 1, dejando libre así la habitación 1 y sin dejar a ningún cliente sin habitación). Aunque el hotel de Hilbert esté lleno, todavía puede alojar a un cliente y, por tanto, a un número finito de clientes.
El hotel de Hilbert sigue estando lleno cuando llega una infinidad numerable de clientes. El recepcionista les asigna las habitaciones impares y llama a todos los clientes para pedirles que se trasladen a la habitación cuyo número es el doble del de la que ocupan (el ocupante de la habitación n se muda a la habitación 2n + 1, dejando libres así todas las habitaciones pares y sin dejar a nadie sin habitación). Aunque el hotel de Hilbert esté lleno, todavía puede alojar a una infinidad de clientes.
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El principio del palomar ---------------------------
Si se reparten cuatro calcetines en tres cajones, uno de ellos contiene al menos dos. En 1834, J. P. G. Lejeune-Dirichlet dio el nombre de principio del palomar a este principio, que utilizó para estudiar las aproximaciones racionales de un número real. Generalmente se le atribuye la paternidad. Sin embargo, Jean Leurechon lo utilizó dos siglos antes que él en su libro Récréation mathématique composée de plusieurs problèmes plaisants et facétieux. El acertijo de Leurechon trata sobre cabellos y monedas. Lo formula así: «[Demostrad] que es absolutamente necesario que dos hombres tengan el mismo número de cabellos o de monedas.»
Este enunciado se entiende mejor de la siguiente manera: «Cada persona posee como máximo 150 000 cabellos. Sabiendo que Angers tiene 150 125 habitantes, demostrad que al menos dos angevinos tienen el mismo número de cabellos.»
El razonamiento para demostrarlo tiene algo de surrealista: ordenemos en un primer cajón a las personas que no tienen cabello alguno, en un segundo a las que tienen uno solo, y así sucesivamente hasta el último, que contiene a las personas con ciento cincuenta mil cabellos. Si ningún cajón contiene más de una persona, la población de Angers es como máximo de 150 001 habitantes, lo cual es absurdo; por tanto, uno de los cajones contiene a dos personas.
Esta demostración tiene algo de inquietante: no permite encontrar a esas dos personas. A comienzos del 20.º siglo, matemáticos como Luitzen Brouwer decidieron que no se podía admitir este tipo de demostración de existencia y exigían que fuera acompañada de un algoritmo de construcción de una solución. Por eso se les llama constructivistas. Esta escuela de pensamiento no convenció a la mayoría de los matemáticos: aplicar sus preceptos vuelve los razonamientos de una pesadez indecible.
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La paradoja de Condorcet ------------------------
No siempre es evidente encontrar una relación de orden en un conjunto. En su Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (1785), Nicolas de Condorcet mostró que, si se pedía votar para clasificar a tres candidatos A, B y C en unas elecciones, era posible llegar a una situación contradictoria. Pidamos a sesenta electores que se pronuncien; según un sondeo, se distribuyen así:
*A > B > C**23*
*B > C > A**17*
*B > A > C**2*
*C > A > B**10*
*C > B > A**8*
Así, los electores prefieren A a B por 33 votos contra 27. Prefieren B a C por 42 votos contra 18, y C a A por 35 votos contra 25. En resumen, la mayoría considera que A es mejor que B, que a su vez es mejor que C, que a su vez es mejor... ¡que el candidato A!