Paradossi dell’infinito — Breve matematica | Tangente

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L’albergo di Hilbert ----------------------

In una conferenza sull’infinito che tenne nel 1925, per spiegare che l’infinito non poteva essere riscontrato nella realtà, David Hilbert inventò l’albergo immaginario che oggi porta il suo nome. Si tratta di un albergo con un’infinità di camere numerate da 1, 2, 3… Questo oggetto sarebbe probabilmente caduto nell’oblio ai giorni nostri se George Gamow non lo avesse reso popolare nel suo libro Uno, due, tre… l’infinito, pubblicato nel 1947.

L’albergo di Hilbert è al completo quando arriva un cliente. L’addetto alla reception gli assegna la camera numero 1 e telefona contemporaneamente a tutti gli ospiti chiedendo loro di spostarsi nella camera successiva a quella che occupano (l’occupante della camera n si trasferisce nella camera n + 1, liberando così la camera 1 e senza lasciare alcun cliente senza camera). Quando l’albergo di Hilbert è al completo, può ancora accogliere un cliente, e dunque un numero finito di clienti!

L’albergo di Hilbert è sempre al completo quando arriva un’infinità numerabile di clienti. L’addetto alla reception assegna loro le camere dispari e telefona a tutti gli ospiti chiedendo di spostarsi nella camera il cui numero è il doppio di quello della camera che occupano (l’occupante della camera n si trasferisce nella camera 2n + 1, liberando così tutte le camere pari e senza lasciare nessuno senza camera). Quando l’albergo di Hilbert è al completo, può ancora accogliere un’infinità di clienti!

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Il principio dei cassetti ---------------------------

Se quattro calzini sono distribuiti in tre cassetti, almeno uno dei cassetti ne contiene due. Nel 1834, J. P. G. Lejeune-Dirichlet chiamò questo principio, che utilizzò per studiare le approssimazioni razionali di un numero reale, il principio dei cassetti. In genere gli viene attribuita la paternità. Tuttavia Jean Leurechon lo utilizzò due secoli prima di lui nel suo libro Récréation mathématique composée de plusieurs problèmes plaisants et facétieux. L’enigma di Leurechon riguarda i capelli e le monete. Lo enuncia così: « \[Dimostrate\] che è assolutamente necessario che due uomini abbiano altrettanti capelli o pistole l’uno dell’altro.»

Questo enunciato si comprende meglio nella forma seguente: «Ogni persona possiede al massimo 150 000 capelli. Sapendo che Angers conta 150 125 abitanti, dimostrate che almeno due abitanti di Angers hanno lo stesso numero di capelli.»

Il ragionamento per dimostrarlo ha qualcosa di surreale: mettiamo le persone senza capelli in un primo cassetto, quelle con un solo capello in un secondo e così via fino all’ultimo, che contiene le persone con centocinquantamila capelli. Se nessun cassetto contiene più di una persona, la popolazione di Angers non supera 150 001, il che è assurdo; dunque uno dei cassetti contiene due persone.

Questa dimostrazione ha qualcosa di inquietante: non permette di trovare queste due persone. All’inizio del 20^º secolo, matematici come Luitzen Brouwer decisero che non si poteva ammettere questo tipo di prova d’esistenza e chiesero che fosse accompagnata da un algoritmo per costruire una soluzione. Per questo li si chiama costruttivisti. Questa scuola di pensiero non convinse la maggioranza dei matematici: applicarne i precetti rende i ragionamenti di una pesantezza indicibile.

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Il paradosso di Condorcet ------------------------

Non è sempre evidente trovare una relazione d’ordine su un insieme. Nel suo Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (1785), Nicolas de Condorcet mostrò così che, se si chiedesse di votare per una classifica fra tre candidati A, B e C in un’elezione, si potrebbe giungere a una situazione contraddittoria. Chiediamo a sessanta elettori di esprimersi; dopo il sondaggio si distribuiscono così:

Così, gli elettori preferiscono A a B con 33 voti contro 27. Preferiscono B a C con 42 voti contro 18, e C ad A con 35 voti contro 25. In sintesi, la maggioranza ritiene A migliore di B, a sua volta migliore di C, che è a sua volta migliore… del candidato A!