similitude directe

Imaginez un motif dessiné sur une feuille. On le fait tourner d’un quart de tour, puis on double toutes ses longueurs, sans le retourner comme dans un miroir. Le motif change de taille et d’orientation, mais sa forme et le sens de ses angles sont conservés.

Cette transformation est une similitude directe. Le même facteur agrandit ou réduit chaque distance, et le même angle fait tourner chaque direction.

Dans un plan euclidien orienté, une similitude directe est une transformation qui multiplie toutes les distances par un même nombre réel positif, appelé rapport k, et conserve les angles orientés. Si les points distincts M et N ont pour images M′ et N′, l’égalité des distances et l’angle constant α s’écrivent :

Dans le plan complexe, si z représente un point et z′ son image, toute similitude directe s’écrit $z^{\mathrm{\prime }}=az+bz\text{'}=az+b$, avec a non nul. Le module de a est le rapport k et un argument de a est l’angle α, défini modulo 2π. Elle se décompose en une homothétie de rapport k et une rotation d’angle α de même centre lorsqu’elle possède un centre. Elle peut aussi résulter d’une rotation d’angle α et d’une homothétie de rapport k qui commutent, ou d’une rotation d’angle α + π et d’une homothétie de rapport −k. Si a = 1, il s’agit d’une translation, éventuellement réduite à l’identité, et aucun centre unique n’existe.

On considère la transformation du plan complexe définie par $z^{\mathrm{\prime }}=2izz\text{'}=2iz$. Le point A a pour affixe 1 et le point B pour affixe 2 + i.

1. Calculer les images donne $z_{A^{\mathrm{\prime }}}=2iz\_\{A\text{'}\}=2i$ et $z_{B^{\mathrm{\prime }}}=-2+4iz\_\{B\text{'}\}=-2+4i$. Ainsi, A′ a pour coordonnées (0 ; 2) et B′ pour coordonnées (−2 ; 4).
2. Le vecteur allant de A à B a pour coordonnées (1 ; 1), donc AB = √2.
3. Le vecteur allant de A′ à B′ a pour coordonnées (−2 ; 2), donc A′B′ = √(4 + 4) = 2√2.
4. Passer de (1 ; 1) à (−2 ; 2) revient à tourner de 90° dans le sens direct, puis à multiplier la longueur par 2.

Le rapport vaut donc 2 et l’angle vaut 90°, soit π/2 radians. Le contrôle est immédiat : A′B′/AB = 2√2/√2 = 2, et le produit par i effectue bien un quart de tour direct.

En géométrie, une similitude directe sert à reconnaître deux figures de même forme et de même orientation. On compare deux segments correspondants pour obtenir le rapport, puis deux directions correspondantes pour obtenir l’angle.

Dans le plan complexe, on repère une similitude directe dans une écriture z′ = az + b avec a non nul. Le module de a fournit le facteur d’échelle et son argument fournit la rotation.

Pour construire l’image d’une figure, on peut transformer chacun de ses points par la même règle. Si l’image paraît retournée comme dans un miroir, il faut plutôt tester une similitude indirecte, qui renverse les angles orientés.

Similitude indirecte. Elle multiplie aussi toutes les distances par un même rapport positif, mais elle renverse l’orientation. Un triangle et son reflet dans un miroir relèvent d’une similitude indirecte, tandis qu’une rotation suivie d’un agrandissement donne une similitude directe.

Homothétie. Une homothétie impose un angle nul lorsque son rapport est positif, ou un demi-tour lorsque son rapport est négatif. La transformation z′ = 2iz tourne de 90° : elle est une similitude directe, mais pas une homothétie.

Isométrie directe. Elle conserve exactement les longueurs : son rapport vaut 1. Une similitude directe de rapport 2, comme l’exemple z′ = 2iz, conserve la forme mais double les distances ; ce n’est donc pas une isométrie.

Rapport nul. La condition k > 0 est essentielle. Si k = 0, tous les points ont la même image : les directions disparaissent et la transformation n’est pas une similitude au sens retenu ici.

Angle défini modulo 2π. Les angles α et α + 2π décrivent la même rotation. Il faut comparer leurs classes modulo un tour complet, et non leurs seules écritures numériques.

Absence de centre unique. Pour z′ = az + b avec a ≠ 1, le centre est l’unique point fixe d’affixe $\omega =\frac{b}{1-a}\backslash omega=\backslash frac\{b\}\{1-a\}$. Lorsque a = 1 et b ≠ 0, la transformation est une translation sans point fixe. Lorsque a = 1 et b = 0, c’est l’identité et tout point est fixe.

Signe du rapport d’homothétie. Le rapport k de la similitude reste positif. L’écriture avec une homothétie de rapport −k exige simultanément d’ajouter π à l’angle de rotation ; changer seulement le signe ne décrit pas la même décomposition.

L’homothétie isole la part d’agrandissement ou de réduction et précise le rôle du signe de son rapport.

Le plan complexe donne un langage efficace pour lire dans le coefficient a le rapport et l’angle d’une similitude directe.