GéométrieNotion · Glossaire
affinité
Une affinité d'axe (D), de direction V et de rapport k est la transformation géométrique qui associe à tout point M le point M' défini comme suit : on mène par M la droite de direction V jusqu'à son intersection H avec l'axe (D), puis M' est le point vérifiant le vecteur HM' = k · vecteur HM. Lorsque k = 1, l'affinité est l'identité ; lorsque k = −1, elle est une symétrie d'axe (D), oblique si V n'est pas perpendiculaire à (D) et orthogonale si V l'est.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier le rôle de l'axe, de la direction et du rapport.
- Construire et contrôler l'image d'un point dans un exemple chiffré.
- Distinguer les cas k = 0, k = 1 et k = −1.
- Reconnaître quand une affinité est orthogonale.
En clair
Imaginez une feuille traversée par une droite qui reste immobile. Pour chaque point, on repère sur cette droite le point H situé sur sa ligne de déplacement, puis le vecteur allant de H au point est multiplié par un même nombre. Avec un rapport égal à 2, ce vecteur est doublé sur la même ligne de déplacement.
Cette transformation est une affinité. Elle dilate, contracte ou retourne la figure selon la direction V, mais elle fixe tous les points de son axe.
Définition
Dans le plan, une affinité est déterminée par une droite appelée axe (D), une direction V non parallèle à (D) et un nombre réel appelé rapport k. Pour un point M, l'unique droite passant par M et de direction V coupe (D) en H. L'image M' est placée sur cette droite par la relation vectorielle .
Tous les points de (D) sont fixes. Si k = 1, chaque point reste à sa place : la transformation est l'identité. Si k = −1, M et M' sont opposés par rapport à H : on obtient une symétrie d'axe (D) dans la direction V, oblique lorsque V n'est pas perpendiculaire à (D) et orthogonale lorsqu'elle l'est. Si la convention autorise k = 0, la construction envoie tous les points sur (D) et devient la projection sur (D) parallèlement à V.
Lorsque k est non nul, l'affinité est bijective et son inverse garde le même axe et la même direction, avec le rapport 1/k. Dans un repère où (D) est l'axe horizontal et V la direction verticale, elle s'écrit simplement .
Un exemple, pas à pas
On travaille dans un repère où l'axe (D) est l'axe horizontal et où la direction V est verticale. Les données sont le point M de coordonnées (2, 1) et le rapport k = 2. La droite verticale passant par M coupe (D) au point H de coordonnées (2, 0).
1. Le vecteur allant de H à M a pour coordonnées (0, 1).
2. On multiplie ce vecteur par le rapport 2 : 2 × (0, 1) = (0, 2).
3. On part de H et on ajoute ce nouveau vecteur. Le point image M' a donc pour coordonnées (2, 2).
2. On multiplie ce vecteur par le rapport 2 : 2 × (0, 1) = (0, 2).
3. On part de H et on ajoute ce nouveau vecteur. Le point image M' a donc pour coordonnées (2, 2).
Le schéma matérialise cette construction sur une même verticale : H reste sur l'axe, tandis que M' est deux fois plus éloigné de H que M. Le contrôle consiste à comparer les vecteurs : le vecteur de H vers M' vaut bien deux fois celui de H vers M.
En pratique
Pour construire l'image d'une figure, on traite ses points remarquables un par un. Par chacun, on trace une parallèle à V, on repère son intersection avec (D), puis on multiplie le vecteur obtenu par k. Une homothétie convient plutôt si la figure doit être agrandie depuis un point fixe dans toutes les directions.
Dans un repère adapté, le calcul devient direct : la coordonnée parallèle à l'axe ne change pas et l'autre est multipliée par k. Ce repère est préférable lorsque l'axe et la direction sont déjà alignés sur ses deux directions ; sinon, la construction par l'intersection H évite de masquer la géométrie.
Pour reconnaître l'effet du rapport, on observe le côté et l'éloignement par rapport à l'axe. Un rapport positif conserve le côté, un rapport négatif le renverse, et une valeur absolue supérieure à 1 éloigne les points.
À ne pas confondre
Une affinité ne se confond pas avec une homothétie. L'affinité fixe toute une droite et déplace les autres points selon une direction commune. L'homothétie fixe un centre et multiplie tous les vecteurs issus de ce centre. Ainsi, deux points distincts de l'axe restent fixes par une affinité, alors qu'une homothétie de rapport différent de 1 ne possède qu'un seul point fixe.
Limites et pièges
La direction V ne doit pas être parallèle à l'axe (D). Sinon, la parallèle à V menée par un point extérieur à (D) ne coupe pas l'axe : le point H n'existe pas et la construction ne définit pas une affinité sur tout le plan.
Le rapport k = 0 est un cas charnière. Tous les points d'une même parallèle à V ont alors la même image H sur l'axe. La construction devient une projection et n'est plus inversible ; les conventions qui réservent le mot « affinité » aux transformations bijectives excluent donc ce rapport.
Le mot « orthogonale » porte sur la direction, non sur la valeur du rapport. Une affinité est orthogonale lorsque V est perpendiculaire à (D), quel que soit k. Pour k = −1 avec une direction oblique, la symétrie obtenue n'est pas une symétrie orthogonale.
Pour aller plus loin
La transformation géométrique replace l'affinité parmi les applications qui déplacent les points d'une figure et permet de comparer les invariants conservés.
L'application affine fournit le cadre général qui permet d'étudier l'affinité par ses coordonnées et les alignements qu'elle conserve.
La projection développe le cas limite k = 0, où chaque parallèle à la direction choisie s'écrase en un point de l'axe.
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