congruence des figures

Découpez un triangle dans une feuille, faites-le glisser puis tournez-le sans le retourner. Son contour peut encore recouvrir exactement le dessin de départ : les deux figures sont congruentes au sens adopté ici.

Le déplacement change la position et l'orientation dans la page, mais pas la forme. Les longueurs et les angles restent identiques. En revanche, retourner la feuille comme dans un miroir fait intervenir une réflexion, qui n'est pas un déplacement direct.

Dans le plan euclidien, deux figures sont congruentes selon la convention de cette fiche lorsqu'une isométrie directe envoie exactement l'une sur l'autre. Une isométrie conserve toutes les distances. Elle conserve donc aussi les angles et les dimensions. Le mot « directe » précise qu'elle conserve l'orientation : il s'agit d'une translation, d'une rotation, ou d'une composition de telles transformations.

Si la première figure est notée F, la seconde F′ et le déplacement D, la condition s'écrit $D(F)=F^{\mathrm{\prime }}D(F)=F\text{'}$. La relation est réflexive, car le déplacement nul laisse F en place. Elle est symétrique, car le déplacement inverse ramène F′ sur F. Elle est transitive, car la composition de deux déplacements reste un déplacement. La congruence est ainsi une relation d'équivalence.

Pour les triangles, les critères côté-côté-côté, côté-angle-côté et angle-côté-angle permettent d'établir la même forme et les mêmes dimensions. Si « congruence » est réservée aux isométries directes, il faut en plus vérifier que les sommets correspondants gardent le même ordre autour du triangle. Une réflexion conserve les mesures, mais inverse cet ordre.

On considère le triangle ABC de sommets A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(1 ; 3). On le tourne d'un quart de tour dans le sens antihoraire autour de l'origine, puis on translate le résultat du vecteur (6 ; 1).

Données :
A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(1 ; 3)
Rotation de 90° autour de l'origine
Translation de vecteur (6 ; 1)

1. La rotation transforme A, B et C en (0 ; 0), (0 ; 4) et (−3 ; 1).

2. La translation donne A′(6 ; 1), B′(6 ; 5) et C′(3 ; 2).

3. Le contrôle des carrés des longueurs donne AB² = A′B′² = 16, AC² = A′C′² = 10 et BC² = B′C′² = 18. Les trois côtés correspondants ont donc les mêmes longueurs.

Le quart de tour suivi de la translation est une isométrie directe : ABC et A′B′C′ sont congruents. Pour refaire le contrôle, on calcule chaque carré de distance par la différence des abscisses et des ordonnées ; on retrouve 16, 10 et 18 des deux côtés.

Dans une construction géométrique, on peut déplacer un gabarit sans le déformer. Si tous ses points coïncident avec la figure cible sans retournement, la congruence directe est établie. Si un retournement est nécessaire, il faut parler d'une isométrie indirecte.

Pour deux triangles, il n'est pas nécessaire de comparer une infinité de points. On contrôle trois données indépendantes correspondant à un critère classique, puis l'ordre des sommets lorsque seules les isométries directes sont admises.

Dans un repère, on peut aussi chercher explicitement une rotation et une translation. Cette voie est préférable lorsque les coordonnées sont connues : l'image de chaque sommet se calcule, comme pour ABC et A′B′C′.

Congruence et similitude. Deux figures semblables ont les mêmes angles et des longueurs proportionnelles ; leur échelle peut différer. Deux figures congruentes ont un rapport d'échelle égal à 1. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est semblable, mais non congruent, à un triangle de côtés 6, 8 et 10.

Congruence directe et image par réflexion. Une réflexion conserve les distances et les angles, mais inverse l'orientation. Une figure et son image dans un miroir sont superposables au sens large ; elles ne sont pas nécessairement congruentes selon la convention directe de cette fiche.

Figures congruentes et nombres congrus. En arithmétique, deux entiers sont congrus modulo un entier lorsque leur différence est un multiple de ce module. Ce test ne concerne pas la superposition de figures géométriques.

La convention doit être annoncée. Certains textes appellent congruentes deux figures reliées par n'importe quelle isométrie, réflexion comprise. Si le terme apparaît seul, il faut vérifier si l'auteur exige une isométrie directe ou accepte aussi les isométries indirectes.

Trois côtés égaux ne contrôlent pas à eux seuls l'orientation. Le critère côté-côté-côté établit une superposabilité par isométrie. Dans la convention directe, on contrôle aussi l'ordre cyclique des sommets correspondants ; un ordre inversé révèle une réflexion.

Un dessin à l'échelle ne constitue pas une preuve exacte. Des mesures au millimètre peuvent sembler égales malgré les erreurs de tracé. Il faut utiliser les données de construction ou comparer les mesures avec la précision annoncée, plutôt que d'exiger une égalité que l'instrument ne peut certifier.

Les correspondances comptent. Pour des sommets nommés, annoncer ABC congruent à A′B′C′ associe A à A′, B à B′ et C à C′. Une autre permutation peut changer le verdict sur l'orientation ; les paires doivent donc être données explicitement.

La translation est le déplacement direct le plus simple : elle conserve chaque direction et déplace tous les points d'un même vecteur. Son étude aide à reconnaître une congruence sans rotation.