salinon d'Archimède

Imaginez un grand demi-disque posé sur une ligne. Deux petits demi-disques identiques sont retirés près de ses extrémités, tandis qu'un demi-disque central est ajouté de l'autre côté. Le contour à quatre arcs ainsi obtenu est le salinon. Sa surprise tient à son aire : malgré sa frontière ondulée, elle coïncide exactement avec celle d'un disque dont le diamètre relie les sommets des deux demi-cercles centraux.

Un salinon est une région plane bordée par quatre demi-cercles. Sur une même droite, les points sont placés dans l'ordre A, C, D, B, avec les deux segments extérieurs de même longueur : AC = DB. Le demi-cercle de diamètre [AB] est tracé d'un côté de la droite, comme ceux de diamètres [AC] et [DB]. Le demi-cercle de diamètre [CD] est tracé du côté opposé. La région intérieure au grand demi-cercle, extérieure aux deux petits et prolongée par le demi-disque central forme le salinon.

Notons d la longueur AB, s la longueur commune AC = DB et c la longueur CD, donc c = d − 2s. La droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu est aussi un axe de symétrie. Elle rencontre le grand arc en F et l'arc central en G. L'aire S du salinon vérifie $S=\frac{\pi }{8}(d^2-2s^2+c^2)=\frac{\pi }{4}(d-s{)}^{2}S=\backslash frac\{\backslash pi\}\{8\}(d^2-2s^2+c^2)=\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}(d-s)^2$. Or FG = d − s : S est donc l'aire du disque de diamètre [FG]. Cette propriété figure dans le Livre des Lemmes, recueil attribué à Archimède.

Dans un dessin géométrique, le salinon se reconnaît à une droite portant quatre points, à un grand demi-cercle, à deux petits demi-cercles symétriques près des extrémités et à un demi-cercle central tourné vers l'autre côté. Le contour ressemble à une vague régulière. La perpendiculaire menée au milieu du grand diamètre traverse les deux arcs centraux. Le dessin encode une égalité d'aires entre cette région curviligne et un disque construit sur le segment vertical ainsi obtenu.

La grandeur à lire est l'aire enfermée par les quatre arcs. 1. Repérez d'abord le grand diamètre [AB] et vérifiez que les points intérieurs C et D sont symétriques par rapport à son milieu. 2. Contrôlez que AC et DB ont la même longueur. 3. Distinguez les trois demi-cercles situés d'un même côté de la droite du demi-cercle central situé de l'autre côté. 4. Tracez la perpendiculaire au milieu de [AB] : la distance entre ses intersections F et G avec les deux arcs centraux donne le diamètre du disque équivalent.

L'œil peut additionner les quatre demi-disques parce qu'il voit quatre arcs. Il faut au contraire prendre le grand demi-disque, retrancher les deux petits et ajouter le demi-disque central. L'orientation haut ou bas peut être inversée sans changer les longueurs ni l'aire.

Plaçons les points sur un axe gradué : A à 0, C à 2, D à 6 et B à 8. Les données sont donc AB = 8, AC = DB = 2 et CD = 4. Les longueurs sont exprimées dans une même unité.

1. L'aire du grand demi-disque de diamètre 8 vaut π × 4² / 2 = 8π unités carrées.

2. Chacun des deux petits demi-disques de diamètre 2 a pour aire π × 1² / 2 = π / 2. Leur aire totale vaut donc π.

3. Le demi-disque central de diamètre 4 a pour aire π × 2² / 2 = 2π. L'aire du salinon est alors $8\pi -\pi +2\pi =9\pi 8\backslash pi-\backslash pi+2\backslash pi=9\backslash pi$ unités carrées.

4. Le sommet F du grand demi-cercle est à 4 unités au-dessus de l'axe, et le sommet G du demi-cercle central à 2 unités au-dessous. Ainsi FG = 6. Le disque de diamètre 6 a un rayon de 3 et une aire égale à π × 3² = 9π unités carrées. Le même résultat obtenu par les deux calculs contrôle l'égalité annoncée.

Pour construire la figure, on choisit d'abord le grand diamètre, puis deux segments extérieurs égaux. Le compas suffit à tracer les quatre demi-cercles ; la médiatrice fixe ensuite le segment [FG].

Pour calculer l'aire, le découpage en demi-disques est le plus direct lorsque leurs diamètres sont connus. Le disque de diamètre [FG] offre une autre voie et sert de contrôle indépendant.

Pour vérifier un dessin, on mesure AC et DB avant de comparer les aires. Si ces deux longueurs diffèrent, la symétrie nécessaire au salinon d'Archimède n'est pas présente et l'égalité avec le disque de diamètre [FG] ne s'applique pas sous cette forme.

Le salinon ne doit pas être confondu avec l'arbelos. L'arbelos est bordé par trois demi-cercles placés du même côté d'une droite ; le salinon en possède quatre, dont le demi-cercle central est tourné vers le côté opposé.

Il ne s'agit pas non plus d'une simple réunion de quatre demi-disques. Le critère décisif est le calcul orienté : le grand demi-disque perd les deux petits demi-disques extérieurs et reçoit le demi-disque central.

L'ordre des lettres est décisif. Pour les diamètres [AB], [AC], [DB] et [CD], l'ordre compatible est A, C, D, B. Avec A, B, C, D dans cet ordre, la médiatrice de [AB] reste à gauche de [CD] et ne peut pas rencontrer son demi-cercle : le point G annoncé n'existe pas.

Le cas charnière CD = 0 survient lorsque C et D coïncident au milieu de [AB]. Le demi-cercle central disparaît et la région n'a plus quatre arcs distincts ; on obtient une figure dégénérée, à traiter comme une limite du salinon.

Une figure ressemblante mais non symétrique ne suffit pas. Si AC ≠ DB, la perpendiculaire au milieu de [AB] n'est plus l'axe commun des arcs ; il faut alors calculer directement les aires des demi-disques au lieu d'utiliser le disque de diamètre [FG].

La fiche Archimède replace cette construction parmi les travaux géométriques associés au savant.

L'arbelos permet de comparer une autre figure curviligne classique, délimitée cette fois par trois demi-cercles.

La loi du demi-cercle prolonge l'étude des propriétés géométriques liées à un diamètre.