Demi-cercle (loi du)

Imaginez les valeurs propres d’une très grande matrice symétrique placées sur un axe. Elles ne s’entassent pas uniformément : elles sont plus nombreuses vers le centre et se raréfient près de deux bornes. Le profil obtenu a la forme d’un demi-cercle.

La loi du demi-cercle décrit cette répartition limite. Le rayon R fixe l’étendue, de −R à R. La hauteur de la courbe traduit une densité de probabilité, et non la position d’une valeur propre particulière.

La loi du demi-cercle de Wigner est une loi de probabilité portée par l’intervalle [−R, R], où le rayon R est strictement positif. Pour une valeur réelle x située dans cet intervalle, sa densité est proportionnelle à la hauteur du demi-disque de rayon R. La constante est choisie pour que l’aire totale sous la courbe vaille 1.

La densité, notée f_R, s’écrit : En dehors de cet intervalle, la densité est nulle. Elle est symétrique autour de 0, maximale au centre et nulle aux deux extrémités.

Dans le cadre donné ici, on considère une suite de matrices aléatoires symétriques de taille n dont les entrées du triangle supérieur sont indépendantes et dont les entrées hors diagonale suivent une même loi centrée de variance finie σ². Sous les conditions de moments usuelles et après normalisation par 1/√n, la distribution des valeurs propres converge vers une loi du demi-cercle de rayon R = 2σ. Le résultat porte sur une distribution limite : il ne prédit pas chacune des valeurs propres d’une matrice finie.

La loi réunit quatre éléments. Le rayon R fixe les bornes −R et R. Le support [−R, R] contient toutes les valeurs possibles. Le profil en racine carrée donne la forme bombée et symétrique. Enfin, le facteur de normalisation transforme l’aire du demi-disque en une aire totale égale à 1.

Le rayon agit donc deux fois : il élargit le support et modifie la hauteur nécessaire à la normalisation. Le profil et le facteur ne peuvent pas être séparés si l’on veut conserver une loi de probabilité. Ces données suffisent à calculer la densité en chaque point et la probabilité d’un intervalle. La couleur ou l’échelle choisie pour tracer la courbe ne font pas partie de la loi.

Prenons le rayon R = 2. Le support est [−2, 2], et l’aire géométrique du demi-disque de rayon 2 vaut 2π. Nous cherchons le facteur qui ramène cette aire à 1.

1. Le facteur de normalisation est l’inverse de 2π.
2. La densité devient : 3. Au centre, la valeur exacte est f₂(0) = 1/π, soit environ 0,318.
4. En x = 1, elle vaut $\frac{\sqrt{3}}{2\pi }\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\backslash pi\}$, soit environ 0,276.
5. Aux bornes x = −2 et x = 2, elle vaut 0.

Le résultat est une densité symétrique, maximale en 0 et nulle aux bornes. Pour contrôler la normalisation, on multiplie l’aire 2π du demi-disque par le facteur 1/(2π) : l’aire sous la densité vaut bien 1. La figure matérialise ces trois contrôles.

Pour lire un histogramme de valeurs propres, on compare sa silhouette à une densité en demi-cercle après avoir placé les données sur la même échelle. Le bombement central et la raréfaction près des deux bornes sont les repères utiles.

Pour calculer une probabilité, on détermine l’aire sous la densité entre les deux valeurs choisies. Une simple hauteur de courbe ne suffit pas : elle indique une densité locale, tandis que la probabilité correspond à une aire.

Pour contrôler un modèle de matrice aléatoire, on vérifie d’abord les hypothèses annoncées : symétrie, indépendance des entrées du triangle supérieur, même loi hors diagonale, centrage, conditions de variance et de moments, ainsi que normalisation avec la taille de la matrice. La variance et l’échelle choisies doivent correspondre au rayon R. Si ces hypothèses ne décrivent pas le modèle étudié, cette loi limite ne peut pas être invoquée sur la seule ressemblance du tracé.

Avec un demi-cercle géométrique. Le dessin fournit le profil de la densité, mais la loi est une répartition de probabilités. Le critère décisif est l’aire : elle doit valoir 1, quel que soit le rayon choisi.

Avec le spectre d’une matrice particulière. Un spectre fini est une collection de valeurs propres. La loi de Wigner décrit leur distribution limite dans le cadre aléatoire indiqué ; elle ne donne pas la liste exacte des valeurs propres d’une matrice donnée.

Rayon nul. La formule de densité contient R² au dénominateur et exige R > 0. À R = 0, elle n’est plus une densité ordinaire sur un intervalle de longueur positive.

Matrice finie. Un histogramme peut rester irrégulier et ne pas épouser exactement la courbe. Le mot « limite » est essentiel : on étudie la distribution lorsque la taille des matrices augmente, plutôt qu’une égalité exacte à taille fixée.

Valeur hors du support. Pour |x| > R, l’expression sous la racine devient négative dans les réels. On ne prolonge pas la formule : la densité vaut 0 hors de [−R, R].

Ressemblance graphique. Une courbe bombée ne suffit pas à établir la loi limite. Il faut aussi vérifier le modèle annoncé, notamment la symétrie, le centrage et les conditions portant sur les coefficients.

La notion de valeur propre précise ce que mesure le spectre d’une matrice et aide à interpréter la population dont la loi décrit la limite.

Le nombre de Catalan ouvre une autre voie vers la structure de cette loi, par les outils combinatoires associés à ses moments.