GéométrieObjet géométrique · Glossaire
Angle rentrant
Un angle rentrant est un angle dont la mesure est strictement comprise entre 180 degrés et 360 degrés. On l'appelle aussi angle réflexe dans certaines terminologies. Dans un polygone non convexe, les angles intérieurs rentrants sont ceux qui dépassent 180 degrés. Un polygone possédant au moins un angle rentrant est dit non convexe ou concave. La distinction entre angle saillant (inférieur à 180°) et angle rentrant est fondamentale pour caractériser la convexité des polygones.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer exactement la mesure d’un angle rentrant entre 180° et 360°.
- Calculer le grand secteur à partir du petit secteur formé par les mêmes côtés.
- Reconnaître le rôle d’un angle intérieur rentrant dans un polygone non convexe.
En clair
Imaginez deux demi-droites issues d’un même point. Pour passer de la première à la seconde, vous pouvez tourner par le petit côté ou poursuivre par le grand côté. Si ce grand tour dépasse un demi-tour sans atteindre un tour complet, il forme un angle rentrant. Avec un grand tour de 240°, par exemple, le petit secteur laissé de l’autre côté mesure 120°.
Dans un polygone, un tel angle intérieur signale un creux : le contour semble rentrer vers l’intérieur de la figure.
Définition
Un angle rentrant est formé par deux demi-droites de même origine et par le secteur angulaire qui dépasse un demi-tour. Si la lettre grecque α désigne sa mesure en degrés, le critère est . Les deux bornes sont exclues : 180° est un angle plat et 360° un angle plein.
Les mêmes côtés déterminent aussi un autre secteur, inférieur à 180°. Les mesures des deux secteurs totalisent 360°. Ainsi, pour un angle rentrant de 240°, l’autre secteur mesure 120°. Certaines terminologies emploient le synonyme angle réflexe.
Dans un polygone, la mesure concernée est celle de l’angle intérieur au sommet. Dès qu’un de ces angles intérieurs dépasse 180°, le polygone est non convexe, aussi appelé concave. Cette présence distingue le polygone d’un polygone convexe, dont aucun angle intérieur n’est rentrant.
De quoi c'est fait
Un angle rentrant réunit quatre données utiles : un sommet O, une demi-droite de départ OA, une demi-droite d’arrivée OB et le grand secteur compris entre elles. Les deux demi-droites doivent avoir la même origine pour former l’angle. Le sens de parcours indique lequel des deux secteurs est mesuré ; pour l’exemple, le parcours de OA vers OB couvre 240°. Le secteur restant dépend alors du premier, car les deux mesures complètent le tour entier : 360° − 240° = 120°.
La longueur, la couleur et l’épaisseur des demi-droites ne définissent pas l’angle. Le sommet, les directions des côtés et le secteur choisi suffisent à le construire et à contrôler sa mesure. La figure associée rend visibles ces rôles sans dépendre de l’échelle du tracé.
Un exemple, pas à pas
On considère deux demi-droites OA et OB de sommet O. Le tour entier vaut 360° et le petit secteur entre les deux côtés mesure 120°. On cherche la mesure de l’autre secteur, puis on vérifie s’il est rentrant.
1. Soustraire la mesure du petit secteur à celle du tour entier.
2. Le grand secteur mesure .
3. Comparer ce résultat aux deux seuils : 240° est strictement supérieur à 180° et strictement inférieur à 360°. Le grand secteur est donc un angle rentrant.
Le contrôle consiste à recomposer le tour : 240° + 120° = 360°. La somme correcte confirme que les deux secteurs formés par OA et OB ont bien été pris en compte.
En pratique
Sur un dessin, suivez le secteur indiqué par l’arc plutôt que de choisir automatiquement le plus petit. Si le parcours franchit le demi-tour, comparez sa mesure aux seuils de 180° et 360°.
Pour obtenir l’angle rentrant à partir du petit secteur formé par les mêmes côtés, retranchez sa mesure à 360°. Dans l’exemple, le petit secteur de 120° donne ainsi 240°.
Dans un polygone, examinez l’angle intérieur à chaque sommet. Si l’un d’eux dépasse 180°, retenez la qualification non convexe ou concave plutôt que convexe.
À ne pas confondre
Angle saillant. Sa mesure est inférieure à 180°, tandis que celle d’un angle rentrant dépasse 180°. Entre les mêmes demi-droites de l’exemple, le secteur de 120° est saillant et celui de 240° est rentrant.
Polygone convexe. Aucun de ses angles intérieurs n’est rentrant. Un polygone qui possède un angle intérieur de 240° est au contraire non convexe, ou concave ; ce seul sommet suffit à trancher.
Limites et pièges
Les bornes ne sont pas incluses. Une mesure de 180° produit un angle plat, pas un angle rentrant. Une mesure de 360° produit un angle plein. Il faut donc vérifier deux inégalités strictes, et non une seule.
Les mêmes côtés montrent deux secteurs. L’œil retient souvent le plus petit. Si un arc ou un sens de parcours désigne le grand secteur, utilisez celui-ci ; dans l’exemple, 120° et 240° ne désignent pas le même secteur autour de O.
Le creux doit être intérieur au polygone. Un grand secteur dessiné à l’extérieur ne suffit pas à rendre le polygone concave. Suivez son contour et identifiez, au sommet, la région située à l’intérieur avant de mesurer.
Pour aller plus loin
Angle saillant — Comparez directement le secteur inférieur à 180° avec l’angle rentrant formé par les mêmes côtés.
concept de convexité — Reliez la présence d’un angle intérieur rentrant à la distinction entre polygones convexes et non convexes.
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