GéométrieNotion · Glossaire
Angles supplémentaires
Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à 180 degrés, soit pi radians. Par exemple, un angle de 120 degrés et un angle de 60 degrés sont supplémentaires. Lorsqu'une droite coupe une autre droite, les angles adjacents formés sont supplémentaires. Les fonctions trigonométriques vérifient sin(180° - x) = sin(x) et cos(180° - x) = -cos(x) pour des angles supplémentaires. Dans un triangle, deux angles sont supplémentaires avec le troisième si ce dernier est nul, ce qui n'est pas possible pour un triangle non dégénéré.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître deux angles supplémentaires grâce à leur somme de 180°.
- Calculer l'angle manquant dans la paire 120° et 60°.
- Distinguer angles supplémentaires, complémentaires, adjacents et angle plat.
- Employer les identités de sinus et de cosinus en degrés comme en radians.
- Identifier le cas dégénéré qui empêche deux angles d'un triangle ordinaire d'être supplémentaires.
En clair
Posez côte à côte un angle de 120° et un angle de 60°, sans les faire se chevaucher. Ensemble, ils remplissent exactement un demi-tour : leurs côtés extérieurs forment une ligne droite. Ces deux angles sont supplémentaires.
L’un peut être aigu et l’autre obtus, comme ici, mais ce n’est pas obligatoire. Seul compte le total de 180° : deux angles droits de 90° sont également supplémentaires.
Définition
Deux angles sont dits supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures vaut un angle plat. Si la mesure du premier angle est notée α et celle du second β, le critère est , avec les deux mesures exprimées dans la même unité. Les angles peuvent être séparés ou adjacents : leur position ne fait pas partie de la définition.
Lorsque deux angles adjacents ont leurs côtés non communs portés par une même droite et de sens opposés, ils forment une paire linéaire et sont supplémentaires. Le simple fait que deux angles soient adjacents ne suffit pas. Dans l’exemple conducteur, 120° + 60° = 180°.
Pour un angle dont la mesure x est comprise entre 0° et 180°, le supplémentaire mesure 180° − x. Les identités associées sont sin(180° − x) = sin(x) et cos(180° − x) = −cos(x). En radians, les mêmes relations s’écrivent avec π − x. Dans un triangle non dégénéré, chaque angle est strictement positif : deux angles ne peuvent donc être supplémentaires que dans le cas limite où le troisième vaudrait 0°.
Un exemple, pas à pas
Une demi-droite partage un angle plat en deux angles adjacents. Le premier mesure 120°. Les données sont donc la mesure 120° et le total de l’angle plat, 180°. On cherche la mesure du second angle.
1. On note β la mesure inconnue. Comme les côtés extérieurs sont opposés, les deux angles forment une paire linéaire : .
2. On soustrait 120° au total : .
3. Le second angle mesure donc 60°. Le contrôle consiste à refaire la somme : 120° + 60° = 180°. Le résultat est bien un angle plat.
La construction géométrique représente les deux secteurs sans modifier leurs mesures : le rayon commun sépare les secteurs de 120° et 60°, tandis que les deux autres rayons restent alignés.
En pratique
Sur une droite coupée par une demi-droite, on calcule l’angle adjacent manquant en retranchant l’angle connu à 180°. Cette méthode convient seulement si les deux côtés extérieurs sont bien opposés ; sinon, il faut mesurer ou obtenir une autre relation.
Dans un dessin géométrique, on contrôle une paire annoncée comme supplémentaire en additionnant les mesures. Pour 120° et 60°, le total de 180° valide l’annonce ; un total de 90° signalerait plutôt des angles complémentaires.
En trigonométrie, remplacer l’angle 180° − x par son lien avec x simplifie un sinus ou un cosinus. On conserve le sinus et on change le signe du cosinus ; une valeur numérique directe reste préférable si aucune simplification n’est utile.
À ne pas confondre
Angles complémentaires. Leur somme vaut 90°, et non 180°. Ainsi, 30° et 60° sont complémentaires, tandis que 120° et 60° sont supplémentaires.
Angles adjacents. Ils partagent un sommet et un côté, avec des intérieurs disjoints, mais leur somme n’est pas imposée. Deux angles adjacents de 40° et 60° ne sont pas supplémentaires ; ils totalisent 100°.
Angle plat. Il s’agit d’un seul angle mesurant 180°. Des angles supplémentaires sont une paire dont les mesures réunies égalent celle de cet angle plat, même s’ils ne sont pas côte à côte.
Limites et pièges
L’adjacence ne garantit pas 180°. Deux secteurs voisins peuvent totaliser 100° ou 240°. Il faut vérifier que leurs côtés non communs sont opposés, ou additionner directement leurs mesures.
Les unités doivent être cohérentes. L’égalité charnière est 180° = π radians. Avant d’additionner 120° et π/3, il faut convertir π/3 radian en 60°, ou 120° en 2π/3 radians.
Le triangle non dégénéré exclut le cas. La somme de ses trois angles vaut 180° et chacun est strictement positif. Si deux angles totalisaient déjà 180°, le troisième vaudrait 0° : les sommets seraient alignés et il ne s’agirait plus d’un triangle non dégénéré.
La formule trigonométrique dépend de l’unité. Avec des degrés, l’angle supplémentaire de x est 180° − x. Avec des radians, c’est π − x ; mélanger 180 et une mesure en radians rend le calcul incohérent.
Pour aller plus loin
Angles complémentaires — Pour comparer le seuil de 90° à celui de 180° et éviter la confusion la plus fréquente.
Angles adjacents — Pour vérifier précisément les conditions de voisinage avant de conclure qu’une paire forme un angle plat.
Angle plat — Pour approfondir la figure de 180° qui sert de total de référence aux angles supplémentaires.
radian — Pour passer correctement de 180° à π et employer les identités trigonométriques dans cette unité.
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