ArithmétiqueNotion · Glossaire
Bachet Claude
Claude-Gaspard Bachet de Méziriac est un érudit et mathématicien connu pour ses récréations arithmétiques et pour sa traduction commentée de Diophante, qu’il enrichit de compléments théoriques et de solutions générales à certains problèmes. Son nom reste associé, avec une attribution prudente, à l’identité dite de Bachet-Bézout, qui relie le plus grand commun diviseur de deux entiers à une combinaison entière de ceux-ci.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les œuvres mathématiques de Bachet datées dans la source.
- Relier sa traduction de Diophante à ses compléments et généralisations.
- Vérifier l'identité de Bézout sur les entiers 35 et 12.
- Nuancer l'attribution du théorème de Bachet-Bézout.
En clair
En 1613, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac publie des problèmes de nombres conçus comme des récréations mathématiques. Ce poète et érudit français, qui connaît le latin, le grec et l'hébreu, fait ainsi dialoguer jeux de calcul et recherche savante.
Sa trace mathématique tient aussi à sa traduction latine commentée de Diophante, parue en 1621. Bachet ne se contente pas de traduire : pour certains problèmes, il complète les réponses numériques particulières par des résultats théoriques et des solutions générales. Son nom reste enfin associé, avec prudence, à l'identité dite de Bachet-Bézout.
Définition
Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) est un poète, un érudit en latin, grec et hébreu, et un mathématicien français. Il compte parmi les premiers membres de l'Académie française, fondée en 1634 par Richelieu. Son œuvre mathématique relie la diffusion de problèmes plaisants, l'étude de textes anciens et la recherche arithmétique.
Son recueil Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, publié en 1613, appartient aux récréations mathématiques. En 1621, sa traduction latine commentée des Arithmétiques de Diophante accompagne le texte de compléments théoriques. Pour des problèmes auxquels Diophante donnait seulement une solution numérique particulière, Bachet apporte notamment des solutions générales. Cette formulation ne signifie pas que tous les problèmes de Diophante ont reçu ce traitement.
Son nom est parfois attaché à l'identité aujourd'hui appelée identité de Bézout. Les deux entiers sont notés a et b, et les deux coefficients entiers u et v. Il existe de tels coefficients vérifiant . La mention « parfois attribuée » est essentielle : elle exprime une attribution historique, non une dénomination universelle.
Un exemple, pas à pas
On veut vérifier sur un cas l'identité associée au nom de Bachet-Bézout. Les deux entiers choisis sont a = 35 et b = 12. Les coefficients entiers recherchés sont notés u et v.
1. Diviser 35 par 12 : .
2. Diviser ensuite 12 par le reste 11 : . Le dernier reste non nul vaut 1, donc le plus grand commun diviseur de 35 et 12 vaut 1.
3. Remplacer 11 par 35 − 2 × 12 dans la seconde égalité : .
On obtient u = −1 et v = 3. Le contrôle est direct : 35 × (−1) + 12 × 3 = −35 + 36 = 1, exactement le plus grand commun diviseur attendu. Les coefficients ne sont pas uniques : ajouter 12 à u et retrancher 35 à v fournit encore une combinaison égale à 1.
En pratique
Pour découvrir Bachet par les jeux de nombres, on part du recueil de 1613. Cette porte d'entrée convient lorsque l'on cherche des récréations mathématiques plutôt qu'un traité abstrait.
Pour étudier la transmission de l'arithmétique grecque, on examine sa traduction latine commentée de Diophante, publiée en 1621. Le geste utile consiste à distinguer le problème et la solution particulière transmis par Diophante des compléments et généralisations dus au commentateur.
Pour vérifier une combinaison entière donnant un plus grand commun diviseur, on applique l'identité de Bézout. Le nom « Bachet-Bézout » devient pertinent dans un contexte historique d'attribution ; dans un calcul courant, « identité de Bézout » évite de présenter cette attribution occasionnelle comme unanime.
À ne pas confondre
Bachet et le problème de Bachet de Méziriac. Bachet est la personne et l'auteur ; le problème qui porte son nom est un objet mathématique particulier. Une recherche sur sa vie ou ses œuvres relève de la présente fiche, tandis qu'une recherche sur l'énoncé et la résolution du problème relève de la notion dédiée.
Bachet et Diophante. Diophante est l'auteur des Arithmétiques ; Bachet en publie une traduction latine commentée en 1621. Lorsque l'on sépare une solution numérique particulière du complément théorique ou de la solution générale ajoutés dans cette édition, cette distinction d'auteur devient décisive.
Identité de Bézout et théorème de Bachet-Bézout. La source présente ces noms comme deux appellations liées au même résultat, et non comme deux théorèmes différents. Le critère est l'énoncé : si deux coefficients entiers combinent les deux nombres pour donner leur plus grand commun diviseur, le contenu mathématique est le même.
Limites et pièges
Une attribution à nuancer. Dire que Bachet « a établi » l'identité comme un fait définitivement attribué va au-delà de la source, qui indique qu'elle lui est parfois attribuée. Il faut conserver cette réserve et employer l'intitulé canonique « identité de Bézout » lorsqu'aucune discussion historique n'est menée.
Une généralisation qui n'est pas totale. La traduction commentée de 1621 apporte des compléments théoriques et des solutions générales à des problèmes pour lesquels Diophante ne donnait que des solutions numériques particulières. Le pluriel ne permet pas d'étendre cette contribution à chaque problème des Arithmétiques. Il faut limiter l'affirmation aux problèmes concernés.
Des coefficients non uniques. Dans l'exemple 35 et 12, les coefficients −1 pour 35 et 3 pour 12 conviennent, mais ce n'est pas l'unique paire. Le symptôme du piège est de parler de « la » paire de coefficients. Il faut vérifier la combinaison obtenue sans lui attribuer une unicité que l'identité n'énonce pas.
Pour aller plus loin
L'identité de Bézout développe l'énoncé arithmétique associé au nom de Bachet et le calcul de ses coefficients entiers.
La fiche Diophante d'Alexandrie situe l'auteur des Arithmétiques dont Bachet publia la traduction latine commentée.
Le problème de Bachet de Méziriac donne accès à un objet mathématique précis portant son nom, distinct du portrait biographique.
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