problème du pharaon

En juillet 1944, Antoine de Saint-Exupéry propose une énigme inspirée par un séjour au Caire en 1935. Imaginez plusieurs tas identiques de petits cubes : un seul tas en contient 348 960 150, et le nombre total de tas est premier.

Tous les cubes doivent former un bloc rectangulaire. Sa hauteur doit mesurer exactement autant que la diagonale de sa base. Cette contrainte transforme l'enquête en puzzle arithmétique : les facteurs premiers du volume doivent aussi composer un triangle rectangle entier.

Le problème du pharaon demande de retrouver les trois dimensions entières d'une stèle formée de cubes identiques. Le nombre de cubes vaut 348 960 150 multiplié par le nombre premier N de tas. Les longueurs sont donc exprimées en arêtes de cube, car l'énoncé fourni ne donne pas la longueur physique d'une arête.

Notons a et b les côtés de la base, et h la hauteur. La condition géométrique impose $a^2+b^2=h^{2}a^2+b^2=h^2$. Le triplet (a, b, h) est donc pythagoricien. Il peut s'écrire, après échange éventuel des deux côtés de la base, avec un facteur entier positif k et deux entiers m et n premiers entre eux, de parités différentes, tels que m soit supérieur à n : $a=2kmn,b=k(m^2-n^2),h=k(m^2+n^2)a=2kmn,\backslash quad\; b=k(m^2-n^2),\backslash quad\; h=k(m^2+n^2)$.

Le volume fournit alors une seconde contrainte. La factorisation du nombre connu et la primalité de N conduisent à N = 2, puis à k = 3, m = 18 et n = 7. La stèle a pour base 756 par 825 et pour hauteur 1 119, en arêtes de cube.

On cherche les dimensions dans l'unité formée par une arête de cube. Les données sont 348 960 150 cubes par tas, un nombre premier N de tas et une hauteur égale à la diagonale de la base.

1. Factoriser le contenu d'un tas : $348960150=2\times 3^5\times 5^2\times 7\times 11\times 373348\backslash ,960\backslash ,150=2\backslash times3^5\backslash times5^2\backslash times7\backslash times11\backslash times373$.
2. Paramétrer le triangle rectangle de la base par k, m et n. Comme m et n sont de parités différentes, le facteur mn apporte un second facteur 2 au volume. Le seul nombre premier N compatible avec cette parité est donc 2.
3. Répartir les facteurs premiers dans les facteurs du triplet donne k = 3, m = 18 et n = 7. On contrôle m − n = 11, m + n = 25 et m² + n² = 373.
4. Calculer les côtés : 2 × 3 × 18 × 7 = 756 et 3 × (18² − 7²) = 825.
5. Calculer la hauteur : 3 × (18² + 7²) = 1 119.

Le résultat est une base de 756 × 825 et une hauteur de 1 119 arêtes de cube. Deux contrôles sont refaisables : 756² + 825² = 1 119², et 756 × 825 × 1 119 = 697 920 300 = 2 × 348 960 150 cubes.

Pour résoudre l'énigme, on commence par traduire la diagonale en triplet pythagoricien, puis le nombre de cubes en produit. Cette voie est préférable à des essais de dimensions lorsque le volume est très grand et sa factorisation accessible.

Pour contrôler une solution proposée, il faut vérifier trois conditions : l'égalité de Pythagore pour la forme, le produit des trois dimensions pour le nombre de cubes, puis la primalité du nombre de tas N obtenu. Si l'une des trois échoue, la stèle ne satisfait pas l'énoncé.

Pour convertir les résultats en longueurs physiques, il faut connaître l'arête d'un cube. Sans cette donnée, on conserve 756, 825 et 1 119 en unités d'arête au lieu d'inventer une mesure.

Avec le théorème de Pythagore. Le théorème fournit seulement la relation entre les deux côtés de la base et sa diagonale. Le problème du pharaon ajoute un volume imposé et un nombre premier de tas : le triplet 3, 4, 5 vérifie Pythagore, mais pas le volume demandé.

Avec une simple factorisation. Décomposer 348 960 150 est une étape, pas la solution entière. Une répartition des facteurs n'est recevable que si elle produit aussi trois dimensions dont la hauteur est la diagonale de la base.

Avec les « nombres gelés ». La source cite ce nom comme celui d'un autre problème conçu par Saint-Exupéry. Ce n'est donc pas un second nom du problème du pharaon.

Unité physique absente. Les nombres 756, 825 et 1 119 comptent des arêtes de cube. Sans longueur d'arête dans l'énoncé fourni, une conversion en mètres n'est pas déterminée.

Primalité indispensable. Le raisonnement isole N = 2 parce que N est imposé premier. Si le nombre de tas pouvait être composé, la parité seule ne fixerait plus N et d'autres volumes devraient être examinés.

Orientation de la base. Échanger 756 et 825 ne crée pas une seconde stèle : le rectangle de base est simplement tourné. En revanche, remplacer l'une de ces valeurs sans refaire les deux contrôles change le problème.

Égalité exacte. La hauteur est exactement la diagonale, et non une valeur arrondie. Un triplet décimal seulement proche ne convient pas à une construction constituée d'un nombre entier de cubes.

Factorisation : pour approfondir la décomposition d'un entier en facteurs et son rôle dans la recherche des dimensions.

nombre premier : pour préciser la propriété imposée au nombre de tas et comprendre pourquoi elle contraint le volume.

théorème de Pythagore : pour revoir la relation exacte qui transforme la base et la hauteur en triplet pythagoricien.

La factorisation des grands entiers : pour replacer l'étape arithmétique du problème dans un cadre plus large.