angle polyèdre

Regardez le coin d’une boîte : plusieurs surfaces planes s’y rejoignent en un point. Depuis ce coin, les lignes où deux surfaces se rencontrent partent dans différentes directions. Ensemble, ces surfaces découpent une portion de l’espace qui s’élargit lorsqu’on s’éloigne du coin.

Cette portion est un angle polyèdre. Le coin est son sommet, les lignes qui en partent sont ses arêtes et les secteurs plans tendus entre deux arêtes voisines sont ses faces.

Un angle polyèdre est une portion de l’espace ayant un sommet commun et délimitée par au moins trois secteurs plans. Chaque secteur est une face. Deux faces successives se rencontrent suivant une demi-droite issue du sommet : une arête. Pour définir une portion particulière, il faut donc choisir, parmi les régions découpées par les plans, les secteurs et le côté de chaque plan qui la bordent.

Avec exactement trois faces, l’angle est dit trièdre. Il peut avoir davantage de faces sans devenir un polyèdre fermé : ses arêtes se prolongent depuis le sommet et la portion d’espace n’est pas bornée. Sa forme ne dépend ni de la longueur choisie pour dessiner les arêtes, ni de son orientation.

L’expression angle solide peut désigner cette portion ou sa mesure. Sur une sphère de rayon r centrée au sommet, la portion intercepte une aire A. La mesure, notée oméga, est $\mathrm{\Omega }=\frac{A}{r^2}\backslash Omega=\backslash frac\{A\}\{r^2\}$. Elle s’exprime en stéradians et ne change pas lorsque le rayon de la sphère change.

Le coin d’un cube fournit un modèle trièdre lisible. Trois secteurs plans y forment les faces. Chaque paire de faces voisines se coupe suivant une arête, et les trois arêtes ont la même origine : le sommet. La figure matérialise ces dépendances sans donner de longueur particulière aux arêtes.

Les faces déterminent les arêtes, tandis que les arêtes délimitent les faces. Leur disposition autour du sommet suffit à construire l’angle polyèdre et à déterminer la zone qu’il découpe sur une sphère centrée en ce sommet. En revanche, la couleur, l’échelle du dessin et la longueur des segments visibles ne font pas partie de l’objet géométrique.

On étudie le coin d’un cube placé à l’origine d’un repère. Données. Le sommet est le point O. Les trois faces sont portées par les plans de coordonnées. La portion retenue vérifie x ≥ 0, y ≥ 0 et z ≥ 0. Une sphère de rayon r, centrée en O, sert à mesurer l’angle solide.

1. Les intersections successives des faces sont les trois demi-axes positifs. Ils donnent trois arêtes issues de O.

2. Les trois plans partagent la sphère en huit zones symétriques. Le coin retenu en intercepte exactement une.

3. L’aire totale de la sphère vaut 4πr². L’aire interceptée vaut donc $A=\frac{4\pi r^2}{8}=\frac{\pi r^2}{2}A=\backslash frac\{4\backslash pi\; r^2\}\{8\}=\backslash frac\{\backslash pi\; r^2\}\{2\}$.

4. En divisant cette aire par r², on obtient $\mathrm{\Omega }=\frac{A}{r^2}=\frac{\pi }{2}\mathrm{s}\mathrm{r}\backslash Omega=\backslash frac\{A\}\{r^2\}=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{sr\}$. Le contrôle consiste à multiplier ce résultat par huit : on retrouve 4π stéradians, la mesure de la sphère entière.

Pour reconnaître un angle polyèdre sur un solide, on isole un sommet et on compte les faces planes qui s’y rencontrent. Si deux faces seulement sont en jeu le long d’une arête, on décrit plutôt un angle dièdre.

Pour comparer deux angles polyèdres dessinés à des échelles différentes, on ignore la longueur visible des arêtes. On compare la direction des arêtes ou la zone interceptée sur des sphères centrées aux sommets.

Pour mesurer l’ouverture dans l’espace, on utilise l’aire découpée sur une sphère et le stéradian. Si l’on étudie seulement l’ouverture entre deux demi-droites dans un même plan, l’angle plan et le radian sont les outils adaptés.

Un polyèdre. Dans le sens usuel d’un solide géométrique, un polyèdre est fermé par des faces et occupe une région bornée. Un angle polyèdre est une région conique non bornée issue d’un seul sommet. Le cube entier est un polyèdre ; la portion d’espace issue d’un de ses coins est un angle polyèdre.

Un angle dièdre. Il est formé par deux demi-plans ayant une droite commune. L’angle polyèdre exige au moins trois faces et ses arêtes convergent vers un point. Deux faces voisines du coin d’un cube déterminent un dièdre ; les trois faces ensemble déterminent un trièdre.

Un angle plan. Il est compris entre deux demi-droites d’un même plan et se mesure en radians ou en degrés. L’angle polyèdre occupe l’espace ; sa mesure solide s’exprime en stéradians.

Les plans seuls ne sélectionnent pas une région unique. Plusieurs portions de l’espace apparaissent autour de leur point commun. Il faut préciser les secteurs plans et les côtés retenus ; dans l’exemple, ce sont les inégalités x ≥ 0, y ≥ 0 et z ≥ 0 qui lèvent l’ambiguïté.

Trois faces ne garantissent pas un trièdre non dégénéré. Si les arêtes ne délimitent aucune portion d’espace d’intérieur non vide, le dessin est aplati. Il faut alors vérifier que les directions ne sont pas toutes contenues dans un même plan.

La longueur tracée n’est pas l’ouverture. Allonger toutes les arêtes ne change ni les faces ni la mesure solide. Pour comparer deux ouvertures, il faut employer des sphères centrées aux sommets et comparer le rapport A/r².

Le mot « angle solide » a deux usages. Selon le contexte, il nomme la portion d’espace ou le nombre qui la mesure. La présence d’une valeur en stéradians signale le second usage ; sans unité, il faut préciser si l’on parle de l’objet ou de sa mesure.

La fiche angle solide prolonge la question de la mesure d’une ouverture spatiale et de son expression en stéradians.

La fiche polyèdre permet de comparer cette portion ouverte, organisée autour d’un sommet, avec un objet fermé par plusieurs faces.