polyèdre tronqué

Imaginez un cube dont on coupe proprement un coin avec un plan. Le sommet disparaît et une petite face triangulaire prend sa place. Les trois faces qui touchaient ce sommet perdent chacune un coin, tandis que les autres restent inchangées.

Le solide obtenu est un polyèdre tronqué. On peut répéter la coupe à plusieurs sommets, agir sur des arêtes ou combiner ces opérations. Une coupe propre et non dégénérée fait apparaître une face polygonale et modifie les faces qu'elle rencontre ; lors de coupes successives, une face existante peut aussi disparaître, si bien que leur nombre total n'augmente pas toujours.

Un polyèdre tronqué résulte d'un polyèdre initial auquel une ou plusieurs coupes planes retirent des régions déterminées par des demi-espaces. Dans le cas d'une coupe propre et non dégénérée, où le plan ne passe par aucun sommet et ne contient aucune arête, son intersection avec la partie conservée forme une nouvelle face polygonale. Les anciennes faces traversées par le plan et non supprimées subsistent sous une forme amputée, et les faces non rencontrées ne changent pas.

La troncature peut viser des sommets, des arêtes, ou les deux simultanément. Sa description doit donc préciser les éléments coupés, le côté conservé de chaque plan et la position des coupes. Ces données déterminent la forme des nouvelles faces et la partie restante du polyèdre.

Pour une arête donnée, la source qualifie la troncature de faible si la longueur retirée est inférieure à la moitié de cette arête, et de forte si elle lui est supérieure. Le cas exactement égal à la moitié n'appartient à aucune de ces deux catégories strictes. Une coupe propre et non dégénérée introduit une face à l'étape où elle est effectuée, mais le nombre total de faces n'augmente pas nécessairement : une coupe peut aussi supprimer entièrement une face existante.

La construction met en jeu cinq éléments : le polyèdre initial, ses sommets et arêtes visés, les plans de coupe, les portions retirées et les nouvelles faces. Dans le cas non dégénéré où le plan ne passe par aucun sommet et ne contient aucune arête, il coupe certaines arêtes en des points distincts ; ces points deviennent les sommets du nouveau polygone. Ce polygone ferme l'ouverture laissée par la partie supprimée.

La position du plan dépend des longueurs retirées sur les arêtes rencontrées. Elle commande donc à la fois la forme de la nouvelle face et celle des anciennes faces raccourcies. En revanche, la couleur, l'orientation du dessin et l'échelle d'affichage ne définissent pas le polyèdre tronqué. Le polyèdre de départ, les plans et les côtés conservés suffisent à reconstruire le solide résultant et à compter ses faces, ses arêtes et ses sommets.

Prenons un cube de côté 6 cm et un sommet A. Plaçons P, Q et R à 2 cm de A sur ses trois arêtes incidentes. Le plan passant par ces points retire le coin contenant A. La figure matérialise la coupe.

Données :
côté du cube : 6 cm ;
AP = AQ = AR = 2 cm ;
les trois arêtes issues de A sont perpendiculaires deux à deux.

1. Comparons la longueur retirée à la demi-arête : la moitié de 6 cm vaut 3 cm. Comme 2 cm est inférieur à 3 cm, la coupe est faible sur chacune des trois arêtes.

2. Dans la face carrée contenant AP et AQ, le triangle APQ est rectangle en A. Le théorème de Pythagore donne $PQ=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{ cm}PQ=\backslash sqrt\{2^2+2^2\}=2\backslash sqrt\{2\}\backslash \; \backslash text\{cm\}$. Le même calcul vaut pour QR et RP.

3. La face PQR est donc un triangle équilatéral de côté exact 2√2 cm. Le sommet A disparaît, trois sommets apparaissent et les six faces initiales subsistent.

Le solide compte 10 sommets, 15 arêtes et 7 faces. Le contrôle d'Euler donne 10 − 15 + 7 = 2, comme attendu pour ce polyèdre convexe.

Pour fabriquer une maquette, on marque d'abord les distances de coupe sur les arêtes qui se rencontrent au sommet choisi. Une coupe plane est préférable à un simple arrondi lorsque l'on veut obtenir une nouvelle face polygonale mesurable.

Dans un dessin ou un modèle numérique, on conserve explicitement le côté voulu de chaque plan. Ce choix évite de retirer la grande partie du solide alors que seul un coin devait disparaître.

Pour contrôler le résultat, on repère les faces nouvelles puis on recompte sommets, arêtes et faces. Sur l'exemple du cube coupé en un sommet, la relation d'Euler 10 − 15 + 7 = 2 confirme que le comptage est cohérent.

Un polyèdre n'est pas nécessairement tronqué. Le critère qui tranche est l'opération de coupe : dans un polyèdre tronqué, au moins une partie a été retirée et le bord de la coupe est devenu une nouvelle face polygonale.

Un cube tronqué est un cas particulier, pas un synonyme de polyèdre tronqué. Si le solide initial est un cube, ce nom précis convient ; si la même opération part d'un autre polyèdre, seul le terme général s'applique.

Au seuil exact d'une demi-arête, les adjectifs « faible » et « forte » ne tranchent pas selon les inégalités strictes de la définition source. Il faut alors donner directement la longueur retirée au lieu de forcer l'une des deux étiquettes.

Plusieurs coupes peuvent se rencontrer ou supprimer entièrement une arête. Le symptôme est qu'aucun segment de l'arête initiale ne subsiste entre les plans. Il faut étudier l'intersection de tous les demi-espaces conservés, et non additionner séparément les effets de coupes supposées indépendantes.

Dire seulement « on coupe par un plan » laisse une ambiguïté : un plan borde deux demi-espaces. Si le côté conservé n'est pas indiqué, on peut garder le petit coin au lieu du reste du polyèdre. La construction doit donc toujours nommer la région retirée ou le demi-espace conservé.

La fiche polyèdre replace sommets, arêtes et faces dans la structure générale dont part toute troncature.

L'entrée Troncature isole l'opération de coupe et aide à examiner son rôle indépendamment du solide obtenu.

Le cube tronqué fournit un cas particulier pour observer ce que deviennent les faces carrées après plusieurs coupes de sommets.