simplexe - géométrie -

Prenez deux points et tendez le trait entre eux : vous obtenez un segment. Avec trois points non alignés, remplissez le triangle qu'ils délimitent. Avec quatre points qui ne sont pas dans un même plan, remplissez un tétraèdre.

Le simplexe poursuit exactement cette construction en dimension supérieure. En dimension n, il faut n + 1 sommets suffisamment indépendants. Leur enveloppe convexe comprend les sommets, les arêtes, les faces et tous les points situés entre eux.

Dans un espace affine de dimension n, choisissons n + 1 points appelés A₀, A₁, …, A_n. Ils doivent être affinement indépendants : aucun ne peut être obtenu comme combinaison affine des autres. De façon équivalente, ces points forment un repère affine de l'espace. Leur enveloppe convexe est un simplexe de dimension n.

Un point P appartient à ce simplexe exactement lorsqu'il s'écrit comme une moyenne pondérée des sommets. Les poids, notés λ₀, λ₁, …, λ_n, sont tous positifs ou nuls et leur somme vaut 1 : Ces poids sont les coordonnées barycentriques de P relativement aux sommets.

Cette définition donne un segment pour n = 1, un triangle pour n = 2 et un tétraèdre pour n = 3. Le terme hypertétraèdre souligne la même généralisation. Le simplexe est régulier lorsque toutes ses arêtes ont la même longueur ; la régularité ne fait pas partie de la définition générale. Ludwig Schläfli a établi l'existence de simplexes réguliers dans toute dimension.

Dans l'espace à trois dimensions, prenons les sommets A = (0 ; 0 ; 0), B = (2 ; 0 ; 0), C = (0 ; 2 ; 0) et D = (0 ; 0 ; 2). Nous voulons construire leur simplexe et contrôler le point G = (0,5 ; 0,5 ; 0,5).

1. Depuis A, les trois vecteurs vers B, C et D sont respectivement (2 ; 0 ; 0), (0 ; 2 ; 0) et (0 ; 0 ; 2).
2. Le déterminant de ces trois vecteurs vaut 2 × 2 × 2 = 8. Comme 8 n'est pas nul, les quatre sommets sont affinement indépendants.
3. Leur enveloppe convexe est donc un simplexe de dimension 3, autrement dit un tétraèdre.
4. En attribuant le poids 1/4 à chaque sommet, on obtient $G=\frac{1}{4}A+\frac{1}{4}B+\frac{1}{4}C+\frac{1}{4}D=(\mathrm{0,5},\mathrm{0,5},\mathrm{0,5})G=\backslash frac14A+\backslash frac14B+\backslash frac14C+\backslash frac14D=(0\{,\}5,0\{,\}5,0\{,\}5)$.

Les quatre poids sont positifs et leur somme vaut 1 : G appartient donc au tétraèdre. Un second contrôle consiste à additionner ses coordonnées : 0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5, valeur inférieure à 2 ; chacune est aussi positive. La figure matérialise cette moyenne égale des quatre sommets.

Pour représenter une région convexe à partir d'un petit nombre de sommets, on utilise un simplexe lorsque ces sommets sont affinement indépendants. S'ils sont dépendants, il faut travailler dans leur sous-espace affine ou retirer les sommets redondants.

Pour repérer un point à l'intérieur, on calcule ses coordonnées barycentriques. Des poids tous positifs ou nuls, de somme 1, certifient l'appartenance ; un poids négatif conduit à préférer une description affine qui ne prétend pas que le point est intérieur.

Pour découper une forme géométrique en éléments simples, triangles dans le plan ou tétraèdres dans l'espace, les simplexes donnent des morceaux définis par le minimum de sommets. Un autre polytope convient mieux lorsqu'on veut conserver davantage d'arêtes ou de symétries dans un seul morceau.

Méthode du simplexe. Le simplexe géométrique est l'enveloppe convexe de sommets affinement indépendants. La méthode du simplexe, ou algorithme de Dantzig, est une procédure d'optimisation linéaire. Un triangle dessiné comme objet relève de la géométrie ; la recherche algorithmique d'un optimum relève de la méthode.

Polytope quelconque. Tout simplexe est un polytope, mais tout polytope n'est pas un simplexe. En dimension 3, un tétraèdre possède les quatre sommets requis ; un polytope ayant davantage de sommets ne satisfait pas ce critère.

Tétraèdre. Le tétraèdre est exactement le simplexe de dimension 3, pas le nom de tous les simplexes. Un triangle est un simplexe de dimension 2, mais ce n'est pas un tétraèdre.

Sommets dépendants. Si les n + 1 points ne forment pas un repère affine, leur enveloppe convexe a une dimension inférieure à n. Le symptôme est un déterminant nul dans des coordonnées adaptées. Il faut alors annoncer la dimension réelle de l'enveloppe, au lieu de parler d'un simplexe de dimension n.

Dimension zéro. Au seuil n = 0, un seul point forme un 0-simplexe. Le segment n'apparaît qu'à n = 1. Compter d'abord la dimension évite de croire qu'un simplexe possède toujours une arête.

Frontière et intérieur. Une coordonnée barycentrique nulle place le point sur une face du simplexe ; des coordonnées toutes strictement positives le placent dans son intérieur relatif. Il faut donc accepter zéro pour tester l'appartenance à l'enveloppe entière.

Régularité. Des sommets affinement indépendants suffisent pour former un simplexe, même si ses arêtes ont des longueurs différentes. Il ne faut employer « régulier » qu'après avoir vérifié l'égalité de toutes les longueurs d'arêtes.

L'Enveloppe convexe précise la construction qui remplit tous les points entre les sommets.

Le polytope situe le simplexe dans la famille plus vaste des objets convexes à sommets.

Le tétraèdre développe le cas tridimensionnel du simplexe et ses éléments géométriques.

Les coordonnées barycentriques approfondissent les poids qui localisent un point par rapport aux sommets.