forme définie

Imaginez une règle qui associe un nombre à deux vecteurs, puis appliquez-la deux fois au même vecteur. Pour le vecteur (a, b) du plan muni du produit scalaire usuel, le résultat vaut a² + b². Ce nombre ne peut être nul que si a et b sont tous deux nuls. La forme ne laisse donc aucun vecteur non nul s'annuler avec lui-même : c'est une forme définie. Cette propriété donne une mesure algébrique fiable de la longueur au carré, sans confondre un vecteur réellement présent avec le vecteur nul.

Une forme définie est une forme bilinéaire symétrique f sur un espace vectoriel E, à valeurs dans un corps K, telle que le seul vecteur x vérifiant $f(x,x)=0f(x,x)=0$ soit le vecteur nul. La bilinéarité signifie que f se comporte linéairement par rapport à chacun de ses deux arguments, et la symétrie signifie que $f(x,y)=f(y,x)f(x,y)=f(y,x)$.

La condition porte sur le carré scalaire associé à f, c'est-à-dire la quantité obtenue en prenant le même vecteur dans les deux arguments. Elle ne demande pas que f(x, y) soit non nul pour tout couple de vecteurs non nuls. Deux vecteurs distincts peuvent donc être orthogonaux, alors que chacun possède un carré scalaire non nul.

Dans l'espace réel ℝ², le produit scalaire usuel fournit l'exemple fondamental : pour x = (a, b), f(x, x) = a² + b², et cette somme est nulle exactement lorsque a = 0 et b = 0. La propriété intervient dans la classification des formes quadratiques et conditionne l'existence de bases orthogonales adaptées à la forme considérée.

On considère E = ℝ² et la forme f qui associe à deux vecteurs leur produit scalaire usuel. Pour tester la propriété sur le vecteur x = (3, 4), les données sont les coordonnées 3 et 4, ainsi que la règle $f(x,x)=a^2+b^{2}f(x,x)=a^2+b^2$ pour x = (a, b).

On remplace a et b par les coordonnées de x.
$f(x,x)=3^2+4^{2}f(x,x)=3^2+4^2$
$f(x,x)=9+16f(x,x)=9+16$
$f(x,x)=25f(x,x)=25$

Le résultat est 25, donc il n'est pas nul : le vecteur x = (3, 4) ne fournit pas de contre-exemple. Pour effectuer le contrôle décisif, on prend un vecteur quelconque x = (a, b) et on suppose $f(x,x)=0f(x,x)=0$. Alors $a^2+b^2=0a^2+b^2=0$ ; sur ℝ, chaque carré est positif ou nul, donc a = 0 et b = 0. Le seul vecteur annulé est bien le vecteur nul.

Pour reconnaître une forme définie dans un calcul, on forme f(x, x) et l'on cherche les vecteurs qui annulent cette quantité. Si l'unique solution est le vecteur nul, le critère est satisfait.

Dans une matrice réelle symétrique, ce test s'effectue via la forme quadratique associée. Pour une étude complète, les mineurs principaux ou les valeurs propres donnent des critères adaptés ; le choix dépend de la représentation disponible et de la taille de la matrice.

Cette propriété sert notamment à travailler avec des longueurs au carré et des bases orthogonales adaptées. Lorsque la forme possède un vecteur non nul dont le carré scalaire est nul, on a un vecteur isotrope et le critère de forme définie échoue. Il faut alors distinguer, selon le corps et les hypothèses, isotropie, dégénérescence et indéfinition.

Une forme définie ne signifie pas que f(x, y) est non nul pour tous les vecteurs non nuls x et y. Le critère testable porte seulement sur f(x, x). Dans ℝ² muni du produit scalaire, les vecteurs (1, 0) et (0, 1) sont tous deux non nuls et vérifient $f((1,0),(0,1))=0f((1,0),(0,1))=0$ ; ils restent chacun non nuls sur lui-même.

Il faut également distinguer une forme définie d'une forme positive au sens strict lorsque cette terminologie est employée. La définition donnée ici impose l'implication $f(x,x)=0\Rightarrow x=0f(x,x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=0$, mais elle n'impose pas, à elle seule, que f(x, x) soit positif pour tout vecteur non nul sur un corps quelconque. Le corps et la convention retenue doivent donc être précisés.

Le raisonnement a + b = 0 ne suffit pas à conclure que a et b sont nuls : deux contributions peuvent se compenser. Dans le produit scalaire réel, le bon calcul porte sur a² + b². Le symptôme d'une erreur est de traiter une somme de carrés comme une somme ordinaire ; il faut utiliser que chaque carré réel est positif ou nul.

Le corps K est une hypothèse substantielle. Sur ℝ, a² + b² = 0 force a = b = 0. Sur un corps où des carrés non nuls peuvent se compenser, cette implication ne suit pas du même argument. Le test doit donc être établi avec les propriétés du corps considéré, et non transféré automatiquement depuis ℝ.

Enfin, la symétrie et la condition f(x, x) = 0 ⇒ x = 0 ne jouent pas le même rôle. La première concerne l'échange des arguments ; la seconde détecte les vecteurs non nuls qui s'annulent sur eux-mêmes. Vérifier l'une ne dispense pas de vérifier l'autre.

La forme quadratique associée à f est la fonction qui à x associe f(x, x). Étudier ses zéros permet de traduire la définition en un problème concret : il faut déterminer si son ensemble d'annulation se réduit au vecteur nul. Cette lecture relie directement le calcul de f(x, x) à la classification des formes quadratiques et à la recherche de bases orthogonales adaptées.