vecteur isotrope

Imaginez un espace où une coordonnée compte positivement et les autres négativement. Le vecteur (5, 3, 4) y reçoit un carré nul, car 5² compense exactement 3² + 4². Pourtant, ce vecteur n'est pas nul.

Un tel vecteur est dit isotrope : la forme choisie le rend orthogonal à lui-même. Cette possibilité n'existe pas avec le produit scalaire euclidien habituel, où une somme de carrés ne s'annule que si toutes les coordonnées sont nulles.

Soit un espace vectoriel E muni d'une forme bilinéaire symétrique f. Un vecteur v de E est isotrope lorsque son carré pour cette forme est nul : $f(v,v)=0f(v,v)=0$. La propriété dépend donc de f, pas seulement des coordonnées de v. Elle signifie aussi que v est orthogonal à lui-même pour l'orthogonalité définie par f.

La forme quadratique associée est la fonction q définie par $q(v)=f(v,v)q(v)=f(v,v)$. Les vecteurs isotropes sont exactement les solutions de q(v)=0. Leur ensemble contient toujours le vecteur nul et reste stable par multiplication scalaire : si v est isotrope, tout multiple de v l'est aussi. C'est pourquoi cet ensemble est appelé cône isotrope, même s'il peut se réduire à l'origine.

Avec une forme définie positive, q(v) est strictement positif pour tout vecteur v non nul : aucun vecteur non nul n'est isotrope. Des vecteurs isotropes non nuls peuvent en revanche apparaître pour une forme indéfinie, comme dans un espace de Minkowski. En relativité restreinte, le cône isotrope porte alors le nom de cône de lumière.

Quatre éléments interviennent. L'espace vectoriel E fournit les vecteurs et les multiplications par un scalaire. La forme bilinéaire symétrique f associe un nombre à deux vecteurs, sans changer quand on inverse leur ordre. Le vecteur v est l'objet testé. Enfin, la forme quadratique q associe à v le nombre f(v,v).

La forme f détermine q, puis q détermine le test d'isotropie. L'espace et la forme doivent donc être précisés avant de qualifier un vecteur. L'écriture de v dans une base facilite le calcul, mais la base, le tracé et l'échelle ne font pas partie de la définition. Ces données suffisent à calculer q(v) et à construire l'ensemble q(v)=0.

Dans l'espace réel à trois coordonnées, on considère la forme quadratique de Minkowski q et le vecteur v. Les données sont :
• q(t,x,y)=t²−x²−y² ;
• v=(5,3,4).

1. On remplace les coordonnées t, x et y par 5, 3 et 4.
2. On calcule les trois carrés : 5²=25, 3²=9 et 4²=16.
3. On applique les signes de q : $q(v)=25-9-16=0q(v)=25-9-16=0$.
4. Le résultat est nul alors que v ne l'est pas : v est donc isotrope.

La coupe t=5 du cône isotrope est le cercle x²+y²=25. Le point (3,4) appartient à ce cercle ; la figure rend visible l'égalité 3²+4²=5². Pour contrôler le calcul, on vérifie aussi que 9+16=25.

Pour tester un vecteur, on commence par identifier la forme utilisée, puis on calcule f(v,v). Un résultat nul établit l'isotropie ; un résultat positif ou négatif l'exclut. Tester la longueur euclidienne à la place donnerait un verdict différent.

Pour décrire tous les vecteurs isotropes, on résout l'équation q(v)=0 plutôt que de tester des vecteurs un par un. Dans l'exemple, fixer t=5 transforme la recherche en celle du cercle x²+y²=25.

En géométrie de Minkowski, le cône isotrope sépare les vecteurs selon le signe de leur carré. Si seule l'orthogonalité entre deux vecteurs distincts est recherchée, on calcule plutôt f(u,v).

Dire qu'un vecteur est isotrope ne signifie pas qu'il est nul. Le vecteur nul est toujours isotrope, mais (5,3,4) est un contre-exemple à la réciproque pour q(t,x,y)=t²−x²−y². Le critère porte sur q(v), pas sur les coordonnées de v.

Il ne faut pas non plus confondre isotrope et orthogonal à un autre vecteur. L'isotropie teste f(v,v)=0. L'orthogonalité de deux vecteurs u et v teste f(u,v)=0 ; elle peut être vraie sans que u ou v soit isotrope.

Enfin, le cône isotrope est l'ensemble q(v)=0, tandis que la forme quadratique q est une fonction numérique. L'un est un ensemble de vecteurs ; l'autre attribue une valeur à chaque vecteur.

Le mot « cône » ne garantit pas une surface non vide autour de l'origine. Si la forme est définie positive, l'équation q(v)=0 a pour seule solution v=0. Il faut alors annoncer que le cône isotrope est réduit à l'origine.

Un calcul nul n'a de sens qu'avec la forme précisée. Le vecteur (5,3,4) est isotrope pour q(t,x,y)=t²−x²−y², mais son carré euclidien vaut 25+9+16=50. En cas d'ambiguïté, il faut écrire la forme avant le verdict.

L'ensemble des vecteurs isotropes est stable par multiplication scalaire, mais ce n'est généralement pas un sous-espace vectoriel. Dans l'exemple, (1,1,0) et (1,−1,0) sont isotropes, tandis que leur somme (2,0,0) ne l'est pas. Il faut travailler avec l'équation du cône, sans supposer la stabilité par addition.

La fiche forme bilinéaire approfondit l'application f qui définit l'orthogonalité et le carré d'un vecteur.

L'article Relativité restreinte : une paternité oubliée ? replace le cône de lumière dans son contexte scientifique et historique.