Déterminant principal

Imaginez une matrice comme un carré de nombres. Vous pouvez garder certaines lignes et les colonnes qui portent exactement les mêmes numéros. Le petit carré conservé possède alors son propre déterminant : c’est un mineur principal. Si vous gardez les premières lignes et colonnes, vous obtenez un mineur principal dominant. L’appellation « déterminant principal » se rencontre, mais la terminologie standard est généralement « mineur principal ». Ces nombres résument des sous-parties de la matrice et interviennent dans le critère de Sylvester pour reconnaître une matrice symétrique réelle définie positive.

Soit A une matrice carrée, c’est-à-dire une matrice qui possède autant de lignes que de colonnes. Choisissez un ensemble I d’indices de lignes, puis conservez les colonnes dont les indices appartiennent au même ensemble I. Le déterminant de la sous-matrice carrée ainsi extraite est le mineur principal associé à I. Dans l’usage moins standard retenu par le titre de cette fiche, ce nombre peut être appelé « déterminant principal ».

Lorsque I contient les indices successifs 1, 2, jusqu’à k, le mineur principal est dit dominant d’ordre k. Il s’agit donc d’un cas particulier, défini par le choix du coin supérieur gauche, et non d’un synonyme de tous les mineurs principaux. Les mineurs principaux d’un même ordre peuvent avoir des valeurs différentes.

Pour une matrice réelle symétrique, le critère de Sylvester affirme qu’elle est définie positive exactement lorsque chacun de ses mineurs principaux dominants est strictement positif. Cette conclusion ne s’applique pas à une matrice quelconque : la symétrie réelle est une hypothèse indispensable dans l’énoncé donné ici.

Considérons la matrice réelle symétrique A dont les lignes sont (2, 1, 0), (1, 3, 1) et (0, 1, 2). On numérote ses lignes et ses colonnes de 1 à 3. Nous calculons les mineurs principaux d’ordre 1 et 2, puis le mineur principal dominant d’ordre 3.

Données : la matrice A est réelle et symétrique ; ses indices disponibles sont 1, 2 et 3.

Voici la matrice utilisée dans le calcul.

Pour les ensembles d’indices à un élément, les déterminants des sous-matrices valent respectivement 2, 3 et 2.

Pour les indices 1 et 2, le déterminant de la sous-matrice vaut 5. Ce mineur est dominant d’ordre 2.

Pour les indices 1 et 3, la sous-matrice a pour déterminant 4. Elle est principale, mais non dominante.

Pour les trois indices, le mineur principal dominant est le déterminant de A, qui vaut 8. Les trois mineurs principaux dominants sont donc 2, 5 et 8, tous strictement positifs. Comme A est réelle et symétrique, le critère de Sylvester conclut qu’elle est définie positive.

Le contrôle est direct pour l’ordre 2 : 5 provient bien de 6−1, tandis que le choix des indices 1 et 3 donne 4. Cette différence vérifie que « principal » et « principal dominant » ne désignent pas la même sélection.

Dans un calcul de définie-positivité, on commence par vérifier que la matrice est réelle et symétrique. On calcule ensuite les déterminants des sous-matrices du coin supérieur gauche, dans l’ordre des tailles, car ce sont les mineurs principaux dominants utilisés par le critère de Sylvester.

Pour étudier une interaction entre des lignes et colonnes particulières, on choisit plutôt l’ensemble d’indices qui décrit cette sous-structure. Le déterminant obtenu est alors un mineur principal, même si les indices ne commencent pas par 1. Dans l’exemple, {1,3} conduit à 4 et non au mineur dominant d’ordre 2, qui vaut 5.

Pour rédiger ou lire un résultat, l’appellation « mineur principal » est préférable, car elle est la plus standard. La formule ou le choix explicite des indices permet de lever l’ambiguïté créée par « déterminant principal ».

Un mineur principal se reconnaît au fait que l’ensemble des indices de lignes est identique à celui des colonnes. Le mineur principal dominant ajoute une condition : cet ensemble doit être {1,…,k}, donc correspondre au coin supérieur gauche. Dans l’exemple, les indices {1,3} donnent le mineur principal 4, tandis que {1,2} donne le mineur principal dominant 5.

Un mineur quelconque ne conserve pas nécessairement les mêmes indices sur les deux axes. Par exemple, choisir les lignes 1 et 2 mais les colonnes 1 et 3 dans A donne une sous-matrice carrée 2×2 dans cet exemple, mais elle ne définit pas un mineur principal d’ordre 2, car les indices de lignes et de colonnes diffèrent.

Le déterminant de la matrice entière est le mineur principal associé à tous les indices. Il est aussi dominant d’ordre 3 dans l’exemple, mais un déterminant principal de petite taille n’est pas automatiquement le déterminant de A.

Le piège principal est terminologique : « déterminant principal » est une appellation moins standard. Le symptôme est un texte qui l’emploie comme s’il s’agissait toujours d’un objet distinct. Il faut préciser « mineur principal » et, si nécessaire, indiquer l’ensemble d’indices conservé.

Un ensemble d’indices peut être principal sans être dominant. Le seuil est le premier indice écarté : {1,3} n’est pas de la forme {1,…,k}, alors que {1,2} l’est pour k=2. Le bon réflexe consiste à vérifier la forme exacte de l’ensemble avant d’appliquer un critère réservé aux mineurs dominants.

La conclusion de Sylvester ne doit pas être étendue à une matrice non symétrique ou non réelle. Si cette hypothèse échoue, le symptôme est l’application mécanique du test malgré une matrice d’un autre type ; il faut alors employer un résultat adapté à ce cadre, plutôt que conserver la conclusion de la fiche.

Un mineur principal peut être nul ou négatif sans que le mot « principal » soit incorrect. Dans l’exemple, la positivité de 2, 5 et 8 est le fait qui permet le critère de Sylvester ; la définition d’un mineur principal, elle, dépend seulement de la sélection identique des lignes et des colonnes.

Une fois la sélection d’indices maîtrisée, on peut comparer systématiquement les mineurs principaux d’un même ordre. Cette lecture révèle quelles sous-structures de la matrice ont un déterminant nul, positif ou négatif, sans les confondre avec la seule suite des mineurs principaux dominants.