Résultant

Imaginez deux polynômes comme deux machines qui reçoivent le même nombre x. Le résultant condense en un seul nombre la question suivante : leurs sorties peuvent-elles s'annuler pour une même valeur de x ? Si oui, ce nombre vaut zéro. Sinon, il est non nul.

On peut l'obtenir sans chercher directement les racines. On organise les coefficients de P et de Q dans une matrice particulière, appelée matrice de Sylvester, puis on calcule son déterminant. Cette opération est utile pour éliminer x d'un système d'équations et repérer une intersection de courbes.

Soient P et Q deux polynômes non constants à coefficients dans un corps K. Leur résultant, noté Res(P,Q), est le déterminant de la matrice de Sylvester formée avec leurs coefficients. Cette matrice rassemble des décalages successifs des coefficients de P et de Q ; sa taille est la somme des degrés de P et de Q.

Le critère central s'écrit ainsi :

Cette propriété permet d'éliminer une variable : pour un système P(x,y)=0 et Q(x,y)=0, on calcule le résultant par rapport à x. L'équation obtenue ne contient plus x et donne une condition nécessaire sur y pour qu'une solution existe. Le choix de l'ordre des polynômes peut changer le signe, mais pas le fait que le résultant soit nul.

Prenons P(x)=x²−1 et Q(x)=x−2. Les deux polynômes sont écrits dans la variable x, et leurs coefficients sont respectivement (1, 0, −1) et (1, −2).

La matrice de Sylvester associée est :

Son déterminant se calcule par développement sur la première ligne : 1×4 + (−1)×1 = 3. Le résultat vaut donc Res(P,Q)=3.

Le contrôle est direct : les racines de P sont −1 et 1, tandis que la racine de Q est 2. Elles sont différentes, donc le résultant ne doit pas être nul. Le calcul confirme ce diagnostic.

Dans un système de deux équations polynomiales, le résultant sert à supprimer une variable. Par exemple, pour P(x,y)=x+y−3=0 et Q(x,y)=x−y−1=0, le résultant par rapport à x vaut 2−2y. Il donne donc y=1 comme valeur candidate. En réinjectant cette valeur dans les équations initiales, on obtient x=2 : P(2,1)=0 et Q(2,1)=0.

Pour tester si deux polynômes partagent une racine, le critère observable est encore plus simple : un résultant nul signale une racine commune, tandis qu'un résultant non nul l'exclut dans une extension algébrique du corps de base.

Pour calculer effectivement le nombre, on peut utiliser la matrice de Sylvester plutôt que résoudre séparément les deux polynômes. Cette méthode est particulièrement adaptée aux calculs algébriques systématiques.

Le résultant n'est pas le discriminant. Le discriminant concerne un seul polynôme et teste notamment la présence de racines multiples ; le résultant compare deux polynômes. Le nombre de polynômes engagés ne suffit toutefois pas à les distinguer en général : le discriminant de P est notamment lié au résultant de P et de sa dérivée P'.

Le résultant n'est pas non plus la matrice de Sylvester. La matrice est l'objet construit à partir des coefficients ; le résultant est le déterminant de cette matrice. Dans l'exemple P(x)=x²−1 et Q(x)=x−2, la matrice est un tableau 3×3, alors que le résultant est le scalaire 3 obtenu après son calcul.

Le critère « résultant nul » ne signifie pas nécessairement que la racine commune appartient au corps K des coefficients. Elle peut apparaître seulement dans une extension algébrique de K, comme le précise la définition. Il faut donc vérifier le corps considéré avant d'interpréter la racine.

Les deux polynômes doivent être non constants pour le cadre présenté. Si l'un d'eux est constant non nul, il n'a aucune racine et le critère de racine commune ne peut pas produire un zéro ; si un polynôme nul intervient, le degré et la construction standard de la matrice demandent une convention séparée.

Dans un système à deux variables, annuler le résultant fournit une condition sur la variable conservée, mais pas automatiquement une solution complète. Il faut ensuite réinjecter chaque valeur candidate dans les équations initiales, car l'élimination peut conserver des candidats qui ne satisfont pas simultanément le système.

La matrice de Sylvester détaille la construction qui transforme les coefficients de deux polynômes en un déterminant. Sa lecture permet de comprendre d'où vient le résultant et comment l'ordre des coefficients intervient.

L'Intersection prolonge l'idée géométrique évoquée ici : l'annulation d'un résultant peut fournir une condition algébrique pour rechercher des points communs entre courbes.