Forme sorprendenti nello spazio

L’articolo precedente ha mostrato come la nozione di «palla» dia origine, già nel piano, a forme sorprendenti. E nello spazio?

Palle che crescono… ---------------------------

Se p è un numero reale strettamente positivo, nello spazio usuale, cioè in ℝ³, dotato di un sistema di riferimento ortonormale, si definisce la norma N*_p* del vettore di ℝ³ di coordinate (x, y, z) mediante ${\text{N}}_p(x,y,z)=(\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^p{)}^{1\mathrm{/}p},\backslash text\{N\}\_p\; (x,\; y,\; z)\; =\; (\; |\; x\; |^p\; +\; |\; y\; |^p\; +\; |\; z\; |^p\; )\; ^\{1/p\},$ esattamente come per i vettori del piano (vedi pagina 36). Questa operazione permette poi di definire la distanza associata a N*_p*.

Come nel piano, N*_p è una norma soltanto per p ≥ 1. Per p = 2, si ritrova la distanza euclidea, per la quale il cammino più breve tra due punti è una retta. Per p = 1, la distanza dall’origine O(0, 0, 0) al punto di coordinate (x, y, z*) si ottiene percorrendo un cammino formato da tre segmenti paralleli agli assi, generalizzazione della distanza «Manhattan».

La palla unitaria B*_p(O, 1) nello spazio, o più semplicemente B_p, è definita in modo analogo a quella del piano; ha come frontiera* («bordo») la superficie di equazione $\mathrm{\mid }x{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^p+\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^p=1.|\; x\; |^p\; +\; |\; y\; |^p\; +\; |\; z\; |^p\; =\; 1.$