En el plano, una bola es el conjunto de puntos cuya distancia —en el sentido de la distancia euclídea habitual— a un centro dado es menor o igual que una constante. En realidad, esta bola «habitual» no es realmente una «bola» en el sentido en que la entiende un aficionado al juego provenzal, un jugador de petanca o un campeón de raffa volo, sino un disco. Además, las bolas correspondientes a distancias cualesquiera pueden tener formas mucho más extravagantes (el artículo «Distancias a veces sorprendentes» lo demuestra sobradamente). Pero quedémonos en el plano habitual e interesémonos aquí por distancias procedentes de una «norma» (véase el recuadro), pues la distancia de un punto A a un punto B del plano se define como la norma del vector AB→.\overrightarrow{AB}.
En busca de generalizaciones --------------------------
En el plano habitual, es decir, en ℝ2, provisto de un sistema de referencia ortonormal, la norma euclídea N2 se define por N2(x,y)=x2+y2=(x2+y2)1/2,\text{N}_2 (x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} = (x^2 +y^2)^{1/2}, que representa la distancia «en línea recta» desde el origen (0, 0) hasta el punto de coordenadas (x , y ) .
Los matemáticos, en busca de generalizaciones, han sustituido el número 2 por el número real estrictamente positivo p y han definido N*p estableciendo Np (x, y) = (x p +y p *)1/*p, expresión que conserva todo su sentido cualesquiera que sean p > 0 y los números reales x e y. Se comprueba entonces que Np es efectivamente una norma… pero solo para p* ≥ 1.