Métricas variadas
Desde finales del siglo XIX, las matemáticas se apropian de la noción abstracta de distancia al integrar nuevas formas de calcularla en el plano o en el espacio: distancia « de Manhattan », distancia en tiempo de recorrido… Entonces uno puede preguntarse cómo luce el « círculo » correspondiente. Se necesitan talentos de dibujante a veces son necesarios para trazar las formas sorprendentes que responden a la pregunta. La axiomatización del concepto de espacio métrico también permite extrapolar la distancia a la combinatoria, el análisis, e incluso el álgebra. Los objetos considerados ya no son obligatoriamente puntos en el sentido clásico. Entonces uno puede, por ejemplo, definir una distancia entre dos funciones.
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La génesis de los espacios métricos
A comienzos del siglo XX, Maurice Fréchet y Felix Hausdorff sintieron que descubrían un Nuevo Mundo: la teoría de conjuntos les sirvió de marco para introducir el concepto de distancia, una generalización del valor absoluto para los números reales.
Tan lejos, tan cerca…
¿Qué distancia hay entre París y Roma? Ante esta pregunta, es legítimo preguntarse si se sobreentiende «en línea recta», «en tren», «en coche» o «en sentido euclidiano». Con las distancias ultramétricas descubrimos incluso un universo en el que todos los triángulos son isósceles.
Distancias sorprendentes: Manhattan y Tchebychev | Tangente
La distancia euclidiana en el plano es la que todo el mundo conoce: expresa que el camino más corto entre dos puntos se obtiene en línea recta. Pero existen muchas otras, a menudo atípicas. Algunas son incluso muy sorprendentes…
Bolas en el plano
Una bola esférica es el conjunto de puntos cuya distancia a un centro es menor que una constante. Los matemáticos, siempre en busca de generalizaciones, aceptan esta definición de bola… en cualquier espacio provisto de una «distancia» cualquiera.
Formas sorprendentes en el espacio
Como en el plano, en el espacio pueden definirse muchas bolas asociadas a normas. Encontraremos poliedros, algunos regulares y otros más sorprendentes. ¡Así podremos confeccionar una bonita colección festiva de bolas a juego con vuestro próximo árbol de Navidad!
Las normas en los espacios de funciones
La noción de distancia también puede aplicarse a las funciones