Involucri di famiglie di rette
Quando si considera una famiglia di rette, esiste spesso una curva tangente a ciascuna di esse: è l'involucro di questa famiglia. La sua equazione si calcola a partire dalla parametrizzazione delle rette. Che piacere per l'occhio vedere queste figure geometriche fatte di rette abilmente poste lungo le quali si avvolge una bella curva che sembra sfiorare ciascuna di esse! Tra le curve così costruite, che si possono riconoscere nelle piegature o nei quadri di fili tesi, ritroviamo alcune figure ben note come le coniche. I raggi luminosi che si riflettono su una superficie disegnano anch'essi delle belle curve, chiamate caustiche. Appassionato di ottica e vicino a Leibniz, il conte di Tschirnhaus ha compreso l'interesse del calcolo differenziale per studiarle. Le sviluppate delle curve, involucri delle normali, offrono anch'esse una bella geometria!
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Riunione di famiglia
È un piacere per gli occhi osservare certe figure geometriche con numerose rette disposte con abilità, lungo le quali si avvolge un’elegante curva che sembra sfiorarle una per una. Quale teoria matematica vi si cela dietro? Quella degli inviluppi di rette.
Inviluppi, punto corrente ed evolute
La nozione di inviluppo di rette comprende due idee. La seconda si presta meglio al calcolo, ma entrambe danno origine a splendide questioni geometriche.
Rette di Simson e ipocicloide di Steiner | Tangente
Questa splendida proprietà geometrica era nota agli studenti delle classi seconde C negli anni Settanta, anche se pochi sapevano dimostrarla.
Triangoli equilateri e un triangolo qualsiasi | Tangente
Esistono almeno due modi per associare un triangolo equilatero a un triangolo qualsiasi T, ossia per «ricavare» da un triangolo che in partenza non possiede a priori alcuna simmetria un triangolo dotato del massimo numero di simmetrie.
Gli ottagoni di Knuth
Il matematico statunitense Donald Knuth è l’autore del sistema di composizione matematica TeX, basato sull’uso delle curve di Bézier.
Inviluppi mediante piegatura
Ogni curva regolare è l’inviluppo dell’insieme delle sue tangenti. Nel caso delle coniche, la costruzione geometrica di queste rette osculatrici è particolarmente semplice, e ciò ne consente la realizzazione mediante piegatura.
L’inviluppo di una famiglia di curve
Definire con precisione la nozione di inviluppo di una famiglia di rette è più sottile di quanto sembri. Ce ne si accorge cercando di generalizzare quest’idea a una famiglia qualsiasi di curve. Il punto di vista introdotto da René Thom permette di aggirare le difficoltà.