Si l’on prend soin d’effacer une courbe plane après avoir tracé plusieurs de ses tangentes, l’œil devine malgré tout la forme de la courbe originelle, comme enveloppe de l’ensemble de ces droites. Notre cerveau a en fait résolu, approximativement, un problème de géométrie différentielle qui consiste à déterminer, dans le cas général, la courbe, dite enveloppe, tangente à une famille de courbes à un paramètre λ d’équation f (x, y, λ) = 0. Analytiquement, il s’agit de résoudre le système :
dans lequel la seconde équation caractérise le point de tangence. Dans le cas d’une famille de droites, le point courant de l’enveloppe apparaît alors comme l’intersection de deux droites. Pour les coniques, abondamment étudiées depuis Apollonius, la construction d’une tangente est simple, ce qui en permet une réalisation par pliage.
Coniques encerclées
Les coniques, courbes planes définies analytiquement par une équation du second degré, sont géométriquement les coupes d’une surface de révolution engendrée par une droite. Si cette droite passe par l’axe de révolution, on obtient un cône dont les coupes, suivant l’orientation du plan, produisent une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Si la droite est hors axe et parallèle à l’axe de rotation, on a un cylindre, qui ne peut fournir que des ellipses (dont les cercles). Sinon, on a un hyperboloïde de révolution à une nappe, en forme de diabolo. Dans les cas dégénérés, on obtient une droite, deux droites ou un point (voir Tangente SUP 75, 2014).
En général, une conique possède deux foyers. Pour le cercle, ils sont confondus, et pour la parabole, l’un d’entre eux s’égare à l’infini. On note 2c la distance des foyers et 2a la distance des points de la conique sur l’axe des foyers. Le paramètre caractéristique des coniques est l’excentricité e = c / a. Pour une ellipse, 0 < e < 1. Pour une hyperbole, e > 1. Pour un cercle, e = 0 et, pour l’improbable parabole, e = 1. Voyons maintenant une construction générale des coniques qui permet de définir la tangente en tout point.
