Rébarbatif et inutile, le concept d’enveloppes de droites ? Voire ! Prenons un exemple concret, celui d’une porte d’autobus en deux morceaux qui se replie. Au sol, à l’arrêt (la porte est fermée), on obtient deux segments de droite. À l’ouverture de la porte, le segment à gauche va pivoter pour décrire un quart de disque. Le segment à droite est plus intéressant à étudier.
La projection sur le sol du battant droit de la porte est un segment. Durant le déplacement de la porte (voir le schéma qui suit), il définit une droite coupant deux droites perpendiculaires, (OA) matérialisant l’axe de la porte fermée et (OB) matérialisant l’axe de la porte ouverte, selon un segment [AB] de longueur constante (celle de la porte entière). Le triangle OAI est isocèle car les deux battants de la porte [OI] et [IA] (position à l’instant courant) ont même longueur. De même, OBI est isocèle car les deux battants de la porte [OB] et [IO] (position à l’arrivée) ont même longueur. Ainsi, [AB] a une longueur constante (voir FOCUS).
Il est facile de tracer un grand nombre de segments [AB]. On voit alors apparaître une courbe en négatif. Cette enveloppe a deux propriétés distinctes. En premier lieu, elle délimite la surface que parcourt la porte, celle où l’on peut se placer sans se faire bousculer. D’un autre, les droites (AB) sont toutes tangentes à l’enveloppe. Cette propriété se prête mieux au calcul que l’autre.
