Histoire et cultureNotion · Glossaire
Erdös Paul
Paul Erdős est un mathématicien hongrois dont l’œuvre a profondément marqué la théorie des nombres, la combinatoire et la théorie des graphes. Sa méthode consistait à faire circuler problèmes et conjectures au fil de très nombreuses collaborations. Cette pratique collective a produit des résultats majeurs et continue d’orienter la recherche dans ces domaines.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer les étapes biographiques données par la source.
- Relier Erdős à la théorie des nombres, à la combinatoire et aux graphes.
- Vérifier la conjecture de Bertrand sur l’exemple n = 10.
- Interpréter correctement l’équivalence du théorème des nombres premiers.
En clair
En 1934, à Budapest, Paul Erdős obtient son doctorat. Contraint ensuite à l’exil, il transforme ses déplacements en manière de travailler : il voyage de pays en pays, rencontre de nombreux mathématiciens et leur propose problèmes et conjectures.
Son portrait est donc inséparable d’une pratique collective des mathématiques. Théorie des nombres, combinatoire et théorie des graphes forment ses trois grands terrains de recherche. Son goût des problèmes se lit notamment dans son travail précoce sur la conjecture de Bertrand.
Définition
Paul Erdős est un mathématicien hongrois né en 1913 et mort en 1996. Après une enfance marquée par la guerre et les discriminations antisémites, il étudie à l’université de Budapest et obtient son doctorat en 1934. L’exil imposé par ses origines ouvre une vie nomade, consacrée aux mathématiques et à la collaboration.
Ses recherches relèvent principalement de la théorie des nombres, de la combinatoire et de la théorie des graphes. À 19 ans, il donne une démonstration plus élégante de la conjecture de Bertrand. Si n désigne un entier au moins égal à 2, ce résultat affirme l’existence d’un nombre premier strictement supérieur à n et strictement inférieur à 2n.
En 1949, Erdős et Atle Selberg établissent une démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers, sans analyse complexe. Si π(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n, le résultat s’écrit lorsque n devient arbitrairement grand. Le symbole ∼ exprime ici un rapport qui tend vers 1, non une égalité pour chaque entier.
Un exemple, pas à pas
Prenons l’entier n = 10 pour vérifier concrètement l’énoncé associé à la conjecture de Bertrand. Les données sont n = 10 et son double 2n = 20. Il faut trouver au moins un nombre premier strictement compris entre ces deux bornes.
1. Écrivons les entiers strictement compris entre 10 et 20 : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 et 19.
2. Écartons les nombres divisibles par 2, 3 ou 5 : 12, 14, 15, 16 et 18 ne sont pas premiers.
3. Il reste 11, 13, 17 et 19 ; chacun n’a pour diviseurs positifs que 1 et lui-même.
2. Écartons les nombres divisibles par 2, 3 ou 5 : 12, 14, 15, 16 et 18 ne sont pas premiers.
3. Il reste 11, 13, 17 et 19 ; chacun n’a pour diviseurs positifs que 1 et lui-même.
Le résultat demandé existe donc bien : 11 est déjà un nombre premier tel que 10 < 11 < 20. Le contrôle est refaisable en testant les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à la racine carrée de 11 : ni 2 ni 3 ne divise 11. La droite graduée rend visibles les quatre solutions de cet exemple.
En pratique
Pour entrer dans l’œuvre d’Erdős par un calcul accessible, on peut tester la conjecture de Bertrand sur de petits entiers. Si l’on cherche plutôt une vue d’ensemble de sa trajectoire, les dates et les lieux de la biographie sont le meilleur point de départ.
Pour situer un résultat cité, on commence par identifier son domaine. La conjecture de Bertrand et le théorème des nombres premiers relèvent de la théorie des nombres ; une question portant sur des configurations ou des réseaux orientera plutôt vers la combinatoire ou les graphes.
Pour lire une démonstration attribuée à Erdős, le mot « élémentaire » est un indice de méthode, pas de difficulté. Dans l’épisode de 1949, il signale précisément l’absence de recours à l’analyse complexe.
À ne pas confondre
La conjecture de Bertrand et le théorème des nombres premiers ne répondent pas à la même question. La première garantit au moins un nombre premier entre n et 2n ; le second décrit le comportement asymptotique du nombre total de nombres premiers jusqu’à n. Pour n = 10, chercher 11 entre 10 et 20 illustre la première question, pas la seconde.
Une démonstration élémentaire n’est pas nécessairement une démonstration facile. Le critère est la nature des outils employés : la preuve de 1949 évite l’analyse complexe, mais cette qualification ne mesure ni sa longueur ni l’effort requis pour la suivre.
Limites et pièges
L’exemple n = 10 vérifie un cas ; il ne démontre pas l’énoncé pour tous les entiers n ≥ 2. Le symptôme du piège est une conclusion universelle tirée d’une liste finie de tests. Il faut alors distinguer l’illustration, qui aide à voir le résultat, de la démonstration générale.
Dans la relation , le symbole ∼ ne signifie pas que les deux expressions sont égales pour un n donné. Il décrit leur comportement lorsque n grandit sans borne. Pour une valeur finie, on calcule π(n) et n / log n séparément au lieu de remplacer ∼ par =.
Le récit de 1949 comporte une attribution délicate : la source mentionne une collaboration avec Atle Selberg, puis un malentendu et une publication par Selberg seul. Il faut conserver cette distinction et ne pas transformer la médaille Fields évoquée dans la source en récompense attribuée à Erdős.
Pour aller plus loin
L’article Quelques travaux d’Erdős en théorie des nombres prolonge le portrait par le domaine où se situent ses deux résultats détaillés dans cette fiche.
Le glossaire théorème des nombres premiers permet d’approfondir l’énoncé asymptotique dont Erdős et Selberg ont donné une démonstration élémentaire en 1949.
L’article Collaborer avec Paul Erdős éclaire le mode de travail collectif qui accompagne sa vie nomade.
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