Szémérédi Endre

En 1975, Endre Szemerédi démontre une conjecture d'Erdős-Turán sur les progressions arithmétiques. Une progression est une suite régulièrement espacée, comme 2, 5, 8 : on ajoute chaque fois 3.

Le théorème de Szemerédi affirme, en substance, qu'un ensemble d'entiers assez dense ne peut éviter indéfiniment de tels motifs, même si l'on exige des progressions très longues. Ce résultat est devenu le repère majeur associé à ce mathématicien hongrois, spécialiste d'analyse combinatoire.

Endre Szemerédi, né en 1940, est un mathématicien hongrois spécialiste d'analyse combinatoire. Après des études de médecine commencées à Budapest, il se tourne vers les mathématiques et la théorie des nombres sous la direction d'Erdős. Diplômé en 1965, il prépare une thèse à Moscou sous la direction de Gelfand, achevée en 1970. Il enseigne l'informatique à l'Université Rutgers, dans le New Jersey, tout en menant des recherches à l'Institut Alfred Rényi, en Hongrie.

Son résultat le plus célèbre est le théorème de Szemerédi, démontré en 1975 et auparavant connu comme la conjecture d'Erdős-Turán. Dans sa forme finie, il dit que, pour toute proportion positive δ fixée et toute longueur entière k fixée au moins égale à 3, il existe un seuil N₀ tel que, pour tout N ≥ N₀, tout sous-ensemble A de {1, …, N} vérifiant |A| ≥ δN contient une progression arithmétique de longueur k.

Une progression arithmétique de longueur k est formée d'un premier terme a et d'un pas entier positif d, avec k termes régulièrement espacés : $a,a+d,a+2d,\dots ,a+(k-1)da,a+d,a+2d,\backslash ldots,a+(k-1)d$. Les travaux de Szemerédi couvrent aussi la théorie des nombres et la théorie des graphes. Lauréat du prix Abel en 2012, il est membre de l'Académie des sciences de Hongrie.

Considérons l'ensemble fini {1, 2, 5, 8, 10}. Nous cherchons trois nombres dans cet ensemble qui forment une progression arithmétique. Les données sont les cinq entiers disponibles et une longueur demandée égale à 3.

1. Choisissons 2 comme premier terme.
2. Prenons 5 comme deuxième terme et calculons l'écart : $5-2=35-2=3$.
3. Ajoutons le même pas 3 à 5 ; nous obtenons 8, qui appartient bien à l'ensemble.
4. Contrôlons le second écart : $8-5=38-5=3$.

Les nombres 2, 5 et 8 forment donc une progression arithmétique de longueur 3 et de pas 3. Le contrôle est refaisable en comparant les deux écarts, qui sont exactement égaux. Cet exemple montre le motif recherché ; à lui seul, il ne démontre pas le théorème général sur tous les ensembles assez denses.

Pour reconnaître une progression dans une liste d'entiers, on compare les écarts entre termes successifs. Si les écarts sont identiques, la liste est une progression arithmétique ; sinon, il faut chercher une autre sous-suite.

Dans un petit ensemble fini, une recherche directe permet de trouver un motif précis, comme 2, 5, 8. Lorsque la question porte sur une garantie valable pour tout ensemble assez grand et de proportion positive fixée, le théorème de Szemerédi devient l'outil pertinent.

Dans une chronologie des mathématiques, trois repères évitent de mélanger formation et résultat : le diplôme de 1965, la thèse de 1970 et la démonstration de 1975. Le prix Abel reçu en 2012 est une distinction ultérieure, non la date du théorème.

Endre Szemerédi et le théorème de Szemerédi. Le premier nomme le mathématicien né en 1940 ; le second nomme un résultat sur les progressions arithmétiques qu'il a démontré en 1975. Une date de naissance concerne la personne, tandis qu'une condition de densité concerne le théorème.

Conjecture d'Erdős-Turán et théorème de Szemerédi. Ces appellations renvoient à deux formulations équivalentes du résultat : la conjecture d'Erdős-Turán est formulée sous une forme infinitaire, tandis que le théorème de Szemerédi admet la forme finie présentée ici. Avant la démonstration, la première était une conjecture ; après la preuve de 1975, le résultat est devenu un théorème portant le nom de Szemerédi.

« Assez dense » dépend des paramètres. Le théorème fixe d'abord une proportion positive et une longueur de progression. La taille à partir de laquelle la conclusion est garantie dépend de ces deux choix ; il ne faut pas lui attribuer un seuil universel unique.

Un ensemble infini ne suffit pas. Le symptôme du contresens est de remplacer la condition de proportion positive par la seule infinitude. Dans ce cas, le théorème ne donne plus la garantie annoncée ; il faut vérifier la condition de densité.

Un exemple n'est pas une preuve générale. Trouver 2, 5, 8 dans un ensemble confirme seulement un cas de longueur 3. Pour invoquer le théorème, il faut conserver les quantificateurs : toute longueur fixée, toute proportion positive fixée, puis une taille suffisamment grande.

Les années ne sont pas interchangeables. 1965 correspond au diplôme, 1970 à la thèse, 1975 à la démonstration et 2012 au prix Abel. Il faut rattacher chaque date à son événement au lieu d'en faire une chronologie approximative.

analyse combinatoire — Situer le domaine dont Szemerédi est présenté comme spécialiste.

Erdös Paul — Identifier le mathématicien sous la direction duquel Szemerédi s'est tourné vers la théorie des nombres.

De la médaille Fields au prix Abel : les chercheurs à l'honneur — Replacer la distinction reçue en 2012 dans son contexte scientifique.