Irréductibilité par réduction

Prenons un polynôme à coefficients entiers. Pour savoir s’il peut se décomposer, on peut observer ses coefficients à travers un nombre premier, comme avec un filtre qui ne conserve que les restes.

Si ce filtre produit un polynôme irréductible sans faire disparaître son terme dominant, le polynôme initial ne pouvait pas avoir de factorisation sur ℚ. Le critère d’Eisenstein obtient le même verdict en contrôlant directement quelles puissances d’un premier divisent les coefficients.

Un polynôme non constant est irréductible sur ℚ lorsqu’il ne peut pas s’écrire comme le produit de deux polynômes de degrés strictement positifs à coefficients rationnels. L’irréductibilité par réduction rassemble des critères suffisants qui transforment cette question en tests arithmétiques sur des coefficients entiers.

Pour le critère d’Eisenstein, on note p un nombre premier. Le nombre p doit diviser chaque coefficient sauf le coefficient dominant, ne doit pas diviser ce coefficient dominant, et p² ne doit pas diviser le terme constant. Ces trois conditions entraînent l’irréductibilité sur ℚ.

Pour la réduction modulo p, chaque coefficient est remplacé par son reste modulo p. Si le coefficient dominant ne devient pas nul, le degré est conservé. Lorsque le polynôme ainsi obtenu est irréductible dans le corps ℤ/pℤ, le polynôme initial est irréductible sur ℚ. Ces critères donnent une preuve lorsqu’ils réussissent, mais leur échec ne donne aucun verdict général.

On étudie le polynôme $f(x)=x^3+2x+2f(x)=x^3+2x+2$. Ses coefficients, du terme de degré 3 au terme constant, sont 1, 0, 2 et 2. On choisit le nombre premier p égal à 2.

1. Le coefficient dominant vaut 1, donc 2 ne le divise pas.
2. Les autres coefficients sont 0, 2 et 2 ; ils sont tous divisibles par 2.
3. Le carré de 2 vaut 4, et 4 ne divise pas le terme constant 2.
4. Les trois conditions d’Eisenstein sont donc satisfaites.

Le verdict est que f est irréductible sur ℚ. Le contrôle est refaisable coefficient par coefficient : le seul coefficient qui échappe à la divisibilité par 2 est bien le dominant, tandis que le terme constant possède un seul facteur 2, pas deux.

Devant un polynôme entier dont presque tous les coefficients partagent un facteur premier, on teste d’abord Eisenstein. Pour $x^3+2x+2x^3+2x+2$, le premier 2 fournit immédiatement la preuve.

Si aucun premier ne convient à Eisenstein, on peut essayer plusieurs réductions modulo p, en conservant le degré. Pour x² + x + 1 modulo 2, les coefficients 1, 1 et 1 restent inchangés. Le polynôme réduit vaut 1 pour les deux éléments 0 et 1 de ℤ/2ℤ : comme ce polynôme de degré 2 n’y a aucune racine, il y est irréductible. On conclut que x² + x + 1 est irréductible sur ℚ.

Si le polynôme réduit se factorise, on change de premier ou de méthode. Cette factorisation modulo p n’est pas, à elle seule, une factorisation sur ℚ.

Irréductibilité et absence de racine rationnelle. Pour un polynôme de degré 2 ou 3, l’absence de racine dans ℚ suffit à établir l’irréductibilité sur ℚ. À partir du degré 4, elle ne suffit plus : un produit de deux polynômes quadratiques peut n’avoir aucune racine rationnelle tout en étant réductible.

Réduction des coefficients et approximation numérique. Réduire modulo p remplace exactement chaque coefficient entier par une classe de reste dans ℤ/pℤ. Il ne s’agit ni d’un arrondi ni d’une estimation de la valeur du polynôme.

Un critère muet n’est pas un contre-exemple. Le polynôme x² + x + 1 est irréductible sur ℚ, mais aucun premier ne divise son coefficient de degré 1, égal à 1 : Eisenstein ne s’applique pas directement. Il faut alors employer un autre argument.

Le degré ne doit pas chuter. Si p divise le coefficient dominant, la réduction modulo p perd son terme de plus haut degré. Le critère usuel ne permet alors pas de transférer un verdict d’irréductibilité ; il faut choisir un autre premier.

Une réduction factorisable ne tranche pas. Modulo 3, x² + x + 1 devient (x − 1)², alors que le polynôme est irréductible sur ℚ. Une réduction réductible invite à essayer un autre premier ou un autre critère.

Le critère d’Eisenstein isole en détail le test de divisibilité utilisé dans l’exemple et permet d’en reconnaître les hypothèses exactes.

La fiche Irréductible (polynôme) précise la notion de factorisation que les critères par réduction servent à exclure.